Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{1} e^{v+1} d v
\int_{0}^{1} e^{v+1} d v
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
ou seja, dado o integrando
e os limites
e
, encontrar o valor numérico exato da integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), em forma prática:
seja contínua em
e
uma primitiva de
(isto é,
para todo
). Então
seja
Isso significa que, para calcular uma integral definida, basta achar uma função
cuja derivada seja
e avaliar
nos extremos.
Passo 3
Vamos achar uma primitiva de
.
Observação direta: a derivada de
em relação a
é
portanto
é uma primitiva válida de
.
(Também é pedagógico ver por substituição: faça
, então
e os limites vão de
a
. A integral vira
, cuja primitiva é
, levando ao mesmo resultado.)
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com a primitiva
:
Como
, podemos escrever de forma mais simples