Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{1} e^{v+1} d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} e^{v+1}\,dv,
ou seja, dado o integrando e^{v+1} e os limites v=0 e v=1, encontrar o valor numérico exato da integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), em forma prática:
seja f contínua em [a,b] e F uma primitiva de f (isto é, F'(x)=f(x) para todo x). Então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Isso significa que, para calcular uma integral definida, basta achar uma função F cuja derivada seja f e avaliar F nos extremos.

Passo 3

Vamos achar uma primitiva de f(v)=e^{v+1}.
Observação direta: a derivada de e^{v+1} em relação a v é
\frac{d}{dv} e^{v+1} = e^{v+1}\cdot\frac{d}{dv}(v+1) = e^{v+1}\cdot 1 = e^{v+1},
portanto F(v)=e^{v+1} é uma primitiva válida de f(v).
(Também é pedagógico ver por substituição: faça u=v+1, então du=dv e os limites vão de u(0)=1 a u(1)=2. A integral vira \int_{1}^{2} e^{u}\,du, cuja primitiva é e^{u}, levando ao mesmo resultado.)

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com a primitiva F(v)=e^{v+1}:
\int_{0}^{1} e^{v+1}\,dv = F(1)-F(0)=e^{1+1}-e^{0+1}=e^{2}-e^{1}.
Como e^{1}=e, podemos escrever de forma mais simples
\int_{0}^{1} e^{v+1}\,dv = e^{2}-e.

Resposta

e^{2}-e

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