Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-2}^{5} \pi \mathrm{~d} x
\int_{-2}^{5} \pi \mathrm{~d} x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- O integrando é a constante
(número real, aproximadamente ). - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior).
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral definida acima?
Passo 2
Relembrando o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que usamos aqui).
Se é contínua em
e
é uma primitiva (antiderivada) de
em
, isto é,
para todo
em
, então
Se
Comentário rápido: uma primitiva é simplesmente uma função cuja derivada é a função que estamos integrando. O Teorema Fundamental nos permite transformar a integral definida em uma diferença de valores da primitiva.
Passo 3
Encontrar uma primitiva de
(constante).
- Sabemos que a derivada de
é : . - Multiplicando por
, obtemos .
Portanto uma primitiva deé
(Nota: qualquer primitiva difere por uma constante,
, mas a constante cancela ao calcular
.)
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental com
,
e
:
Passo 5
Calcular
e
:
Agora a diferença:
Passo 6
Interpretação geométrica (intuição rápida): integrar a constante
no intervalo
equivale à área do retângulo de altura
e largura
. Assim a área é
. Isso ajuda a lembrar a fórmula geral: integral de constante
em
é
.
Passo 7
Dica para a prova: quando o integrando for uma constante
, você pode rapidamente usar a regra
ou lembrar que a primitiva é
e avaliar nos limites. Evita erros com sinal ao subtrair os limites e lembra de calcular a largura do intervalo corretamente.