Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-2}^{5} \pi \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-2}^{5} \pi \,\mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • O integrando é a constante \pi (número real, aproximadamente 3{,}14159\ldots).
  • Os limites de integração são x=-2 (limite inferior) e x=5 (limite superior).
    A pergunta é: qual é o valor numérico da integral definida acima?

Passo 2

Relembrando o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que usamos aqui).
Se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva (antiderivada) de f em [a,b], isto é, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a).
Comentário rápido: uma primitiva é simplesmente uma função cuja derivada é a função que estamos integrando. O Teorema Fundamental nos permite transformar a integral definida em uma diferença de valores da primitiva.

Passo 3

Encontrar uma primitiva de f(x)=\pi (constante).
  • Sabemos que a derivada de x é 1: \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x=1.
  • Multiplicando por \pi, obtemos \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\pi x)=\pi.
    Portanto uma primitiva de \pi é
F(x)=\pi x.
(Nota: qualquer primitiva difere por uma constante, F(x)=\pi x + C, mas a constante cancela ao calcular F(b)-F(a).)

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental com F(x)=\pi x, a=-2 e b=5:
\int_{-2}^{5} \pi \,\mathrm{d}x = F(5)-F(-2).

Passo 5

Calcular F(5) e F(-2):
F(5)=\pi\cdot 5=5\pi, \qquad F(-2)=\pi\cdot(-2)=-2\pi.
Agora a diferença:
F(5)-F(-2)=5\pi-(-2\pi)=5\pi+2\pi=7\pi.

Passo 6

Interpretação geométrica (intuição rápida): integrar a constante \pi no intervalo [-2,5] equivale à área do retângulo de altura \pi e largura 5-(-2)=7. Assim a área é \pi\cdot 7=7\pi. Isso ajuda a lembrar a fórmula geral: integral de constante c em [a,b] é c(b-a).

Passo 7

Dica para a prova: quando o integrando for uma constante c, você pode rapidamente usar a regra
\int_{a}^{b} c\,\mathrm{d}x = c(b-a),
ou lembrar que a primitiva é cx e avaliar nos limites. Evita erros com sinal ao subtrair os limites e lembra de calcular a largura do intervalo corretamente.

Resposta

7\pi

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