Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{\pi / 4} \csc ^{2}(\theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi/4} \csc^{2}(\theta)\,d\theta.
Informações importantes dadas:
  • A função integranda é \csc^{2}(\theta)=\dfrac{1}{\sin^{2}(\theta)}.
  • Em \theta=0 temos \sin(0)=0, logo \csc^{2}(\theta) não está definida em \theta=0.
    Pergunta efetiva: a integral imprópria acima converge (tem valor finito) ou diverge? Se convergir, qual é o valor.

Passo 2

Primeiro precisamos de uma primitiva (antiderivada) de \csc^{2}(\theta). Vou mostrar por que
\frac{d}{d\theta}\big(\cot(\theta)\big) = -\csc^{2}(\theta).
Cálculo usando a definição \cot(\theta)=\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} e a regra do quociente:
\frac{d}{d\theta}\big(\cot(\theta)\big) = \frac{-\sin(\theta)\cdot\sin(\theta)-\cos(\theta)\cdot\cos(\theta)}{\sin^{2}(\theta)} = -\frac{\sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)}{\sin^{2}(\theta)} = -\frac{1}{\sin^{2}(\theta)} = -\csc^{2}(\theta).
Portanto uma primitiva de \csc^{2}(\theta) é -\cot(\theta). Em outras palavras,
\int \csc^{2}(\theta)\,d\theta = -\cot(\theta) + C.

Passo 3

Como a função não é contínua em \theta=0, a integral é imprópria e deve ser entendida como limite:
\int_{0}^{\pi/4} \csc^{2}(\theta)\,d\theta = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{\pi/4} \csc^{2}(\theta)\,d\theta.
Usando a primitiva encontrada,
\int_{\varepsilon}^{\pi/4} \csc^{2}(\theta)\,d\theta = \big[-\cot(\theta)\big]_{\theta=\varepsilon}^{\theta=\pi/4} = -\cot\!\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cot(\varepsilon).
Como \cot\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1, obtemos
\int_{\varepsilon}^{\pi/4} \csc^{2}(\theta)\,d\theta = -1 + \cot(\varepsilon).

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando \varepsilon\to 0^{+}. Note que, para \varepsilon pequeno e positivo, \cot(\varepsilon)=\dfrac{\cos(\varepsilon)}{\sin(\varepsilon)} tem denominador \sin(\varepsilon)\to 0^{+} e numerador \cos(\varepsilon)\to 1, portanto
\lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \cot(\varepsilon) = +\infty.
Logo
\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\big(-1 + \cot(\varepsilon)\big) = +\infty.
Isto mostra que a integral imprópria diverge (vai para +\infty).
Comentário intuitivo rápido: perto de \theta=0 vale \sin(\theta)\approx\theta, então \csc^{2}(\theta)\approx 1/\theta^{2} e como \int_{0} 1/\theta^{2}\,d\theta diverge, espera-se divergência também aqui.

Passo 5

Conclusão final: a integral não tem valor finito; é uma integral imprópria divergente e seu valor é +\infty.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \csc^{2}(\theta)\,d\theta = +\infty

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