Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{\pi / 4} \csc ^{2}(\theta) d \theta
\int_{0}^{\pi / 4} \csc ^{2}(\theta) d \theta
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Informações importantes dadas:
- A função integranda é
. - Em
temos , logo não está definida em .
Pergunta efetiva: a integral imprópria acima converge (tem valor finito) ou diverge? Se convergir, qual é o valor.
Passo 2
Primeiro precisamos de uma primitiva (antiderivada) de
. Vou mostrar por que
Cálculo usando a definição
e a regra do quociente:
Portanto uma primitiva de
é
. Em outras palavras,
Passo 3
Como a função não é contínua em
, a integral é imprópria e deve ser entendida como limite:
Usando a primitiva encontrada,
Como
, obtemos
Passo 4
Agora avaliamos o limite quando
. Note que, para
pequeno e positivo,
tem denominador
e numerador
, portanto
Logo
Isto mostra que a integral imprópria diverge (vai para
).
Comentário intuitivo rápido: perto de
vale
, então
e como
diverge, espera-se divergência também aqui.
Passo 5
Conclusão final: a integral não tem valor finito; é uma integral imprópria divergente e seu valor é
.