Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+\mathrm{t}^{2}} \mathrm{dt}
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+\mathrm{t}^{2}} \mathrm{dt}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A tarefa é avaliar essa integral numérica utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Lembrete do que vamos usar: o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) diz o seguinte.
Se
é contínua em
e
é uma antiderivada de
(ou seja,
para todo
em
), então
Explicando devagar: “antiderivada” significa uma função
cuja derivada é exatamente
. Se encontrarmos tal
, basta substituir os limites e fazer
para obter a integral definida.
Passo 3
Precisamos encontrar uma antiderivada de
. Uma função que frequentemente aparece como antiderivada desse integrando é
. Vamos provar que
.
Prova curta e passo a passo: seja
. Então, por definição da função inversa,
. Derivando ambos os lados em relação a
(tratando
como função de
):
Isolando
obtemos
Agora use a identidade trigonométrica
. Como
, tem-se
. Portanto
Como
, isso mostra que
Concluímos que
é uma antiderivada de
.
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo com
,
e
:
Passo 5
Avaliar
e
:
-
é o ângulo cujo seno? não, cujo tangente vale . O ângulo principal com igual a é . Logo . -
é o ângulo cujo vale , que é . Logo .
Portanto
Passo 6
Interpretação rápida e dica prática para a prova: quando vir
como integrando, lembre que sua antiderivada padrão é
. Assim a integral definida entre números fáceis (como
e
) fica bem direta. Se quiser praticar, tente calcular
— o resultado será
.