Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+\mathrm{t}^{2}} \mathrm{dt}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+\mathrm{t}^{2}} \,\mathrm{dt}.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{1+\mathrm{t}^{2}}.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e 1 (superior).
  • A tarefa é avaliar essa integral numérica utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Lembrete do que vamos usar: o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) diz o seguinte.
Se f é contínua em [a,b] e F é uma antiderivada de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]), então
\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a).
Explicando devagar: “antiderivada” significa uma função F cuja derivada é exatamente f. Se encontrarmos tal F, basta substituir os limites e fazer F(b)-F(a) para obter a integral definida.

Passo 3

Precisamos encontrar uma antiderivada de f(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}. Uma função que frequentemente aparece como antiderivada desse integrando é \arctan t. Vamos provar que \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\arctan t\big)=\dfrac{1}{1+t^{2}}.
Prova curta e passo a passo: seja y=\arctan t. Então, por definição da função inversa, t=\tan y. Derivando ambos os lados em relação a t (tratando y como função de t):
1 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\tan y\big) = \operatorname{sec}^{2}y\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}.
Isolando \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} obtemos
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}.
Agora use a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y. Como \tan y=t, tem-se \operatorname{sec}^{2}y=1+t^{2}. Portanto
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{1+t^{2}}.
Como y=\arctan t, isso mostra que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\arctan t\big)=\frac{1}{1+t^{2}}.
Concluímos que F(t)=\arctan t é uma antiderivada de f(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo com F(t)=\arctan t, a=0 e b=1:
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t = \arctan(1) - \arctan(0).

Passo 5

Avaliar \arctan(1) e \arctan(0):
  • \arctan(1) é o ângulo cujo seno? não, cujo tangente vale 1. O ângulo principal com \tan igual a 1 é \dfrac{\pi}{4}. Logo \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}.
  • \arctan(0) é o ângulo cujo \tan vale 0, que é 0. Logo \arctan(0)=0.
Portanto
\arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica prática para a prova: quando vir \dfrac{1}{1+x^{2}} como integrando, lembre que sua antiderivada padrão é \arctan x. Assim a integral definida entre números fáceis (como 0 e 1) fica bem direta. Se quiser praticar, tente calcular \int_{0}^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t — o resultado será \arctan(\sqrt{3})-\arctan(0)=\dfrac{\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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