Exemplo 33. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada por
e o eixo-
, em torno do eixo-
.
Solução.
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo-
a região limitada por
,
,
e o eixo-
.
Informações dadas e importantes: (uma parábola deslocada para cima), o intervalo em
é
(as retas verticais
e
) e a fronteira inferior é o eixo-
(ou seja,
). Não há nenhuma outra curva isolando a região entre a função e o eixo-
.
Informações dadas e importantes:
Passo 2
Qual fórmula usamos e por quê: quando giramos uma região limitada por uma curva
e o eixo-
em torno do eixo-
, o sólido é obtido por cilindros (discos) de raio igual a
. A fórmula do método dos discos é
onde
e
são os limites em
, e
porque a distância do eixo-
até a curva é
. Aqui
é o volume que queremos e
é a variável de integração.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema: o intervalo é
,
e o raio é
. Logo
Explico: elevamos ao quadrado porque a fórmula pede
.
Passo 4
Expansão do integrando (álgebra passo a passo): usamos a identidade
com
e
. Assim
Isso facilita a integração termo a termo.
Passo 5
Observação sobre simetria para simplificar a conta: a função
é par (mesmo), porque substituindo
por
obtemos o mesmo valor. Para funções pares,
Portanto podemos escrever
Isso evita ter que avaliar a primitiva em
e em
separadamente — é mais prático.
Passo 6
Calcular a primitiva termo a termo: lembre que
para
. Aplicando:
Aqui cada símbolo significa:
é a variável, as frações são as antiderivadas dos termos correspondentes.
Passo 7
Avaliar a integral definida de
a
: substituímos
e
na primitiva e subtraímos.
Agora somamos as frações com denominador comum
:
então a soma é
.
Passo 8
Voltar ao volume usando a simetria (multiplicar por
) e incluir o fator
:
Passo 9
Pequeno reforço conceitual (exemplo simples): se em vez de
tivéssemos
no mesmo intervalo
, o sólido seria um cilindro de raio
e comprimento
, volume
. Pelo método dos discos:
o que confirma que o método dá resultados compatíveis com fórmulas geométricas conhecidas.