Exemplo 33. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada por f(x)=x^{2}+1, x=-1, x=1 e o eixo- x, em torno do eixo- x.
Solução. V=\pi \cdot \int_{-1}^{1}\left(x^{2}+1\right)^{2} d x=\pi \cdot \int_{-1}^{1}\left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) d x=\frac{56 \pi}{15}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo- x a região limitada por f(x)=x^{2}+1, x=-1, x=1 e o eixo- x.
Informações dadas e importantes: f(x)=x^{2}+1 (uma parábola deslocada para cima), o intervalo em x é [-1,1] (as retas verticais x=-1 e x=1) e a fronteira inferior é o eixo- x (ou seja, y=0). Não há nenhuma outra curva isolando a região entre a função e o eixo- x.

Passo 2

Qual fórmula usamos e por quê: quando giramos uma região limitada por uma curva y=f(x) e o eixo- x em torno do eixo- x, o sólido é obtido por cilindros (discos) de raio igual a y=f(x). A fórmula do método dos discos é
V=\pi\int_{a}^{b}\big(\text{raio}\big)^{2}\,dx,
onde a e b são os limites em x, e \text{raio}=f(x) porque a distância do eixo- x até a curva é y=f(x). Aqui V é o volume que queremos e x é a variável de integração.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema: o intervalo é a=-1, b=1 e o raio é f(x)=x^{2}+1. Logo
V=\pi\int_{-1}^{1}\big(x^{2}+1\big)^{2}\,dx.
Explico: elevamos ao quadrado porque a fórmula pede (\text{raio})^{2}.

Passo 4

Expansão do integrando (álgebra passo a passo): usamos a identidade (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2} com A=x^{2} e B=1. Assim
\big(x^{2}+1\big)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1.
Isso facilita a integração termo a termo.

Passo 5

Observação sobre simetria para simplificar a conta: a função x^{4}+2x^{2}+1 é par (mesmo), porque substituindo x por -x obtemos o mesmo valor. Para funções pares,
\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} g(x)\,dx.
Portanto podemos escrever
V=\pi\cdot 2\int_{0}^{1}\big(x^{4}+2x^{2}+1\big)\,dx.
Isso evita ter que avaliar a primitiva em -1 e em 1 separadamente — é mais prático.

Passo 6

Calcular a primitiva termo a termo: lembre que \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aplicando:
\int\big(x^{4}+2x^{2}+1\big)\,dx = \frac{x^{5}}{5} + 2\cdot\frac{x^{3}}{3} + x = \frac{x^{5}}{5} + \frac{2x^{3}}{3} + x.
Aqui cada símbolo significa: x é a variável, as frações são as antiderivadas dos termos correspondentes.

Passo 7

Avaliar a integral definida de 0 a 1: substituímos x=1 e x=0 na primitiva e subtraímos.
\int_{0}^{1}\big(x^{4}+2x^{2}+1\big)\,dx = \left(\frac{1^{5}}{5}+\frac{2\cdot 1^{3}}{3}+1\right)-0 = \frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1.
Agora somamos as frações com denominador comum 15:
\frac{1}{5}=\frac{3}{15},\qquad \frac{2}{3}=\frac{10}{15},\qquad 1=\frac{15}{15},
então a soma é \dfrac{3+10+15}{15}=\dfrac{28}{15}.

Passo 8

Voltar ao volume usando a simetria (multiplicar por 2) e incluir o fator \pi:
V=\pi\cdot 2\cdot \frac{28}{15}=\pi\cdot \frac{56}{15}=\frac{56\pi}{15}.

Passo 9

Pequeno reforço conceitual (exemplo simples): se em vez de f(x)=x^{2}+1 tivéssemos f(x)=1 no mesmo intervalo [-1,1], o sólido seria um cilindro de raio 1 e comprimento 2, volume V=\pi\cdot 1^{2}\cdot 2=2\pi. Pelo método dos discos:
V=\pi\int_{-1}^{1}1^{2}\,dx=\pi\cdot(2)=2\pi,
o que confirma que o método dá resultados compatíveis com fórmulas geométricas conhecidas.

Resposta

\dfrac{56\pi}{15}

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