Exercício 17. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-y, da região limitada por:
c) y=x^{2} e x^{2}+y^{2}=2
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo-y, a região do plano limitada por:
y=x^{2}
e
x^{2}+y^{2}=2.
Informações dadas: as duas curvas são a parábola y=x^{2} e o círculo de equação x^{2}+y^{2}=2 (centro na origem e raio \sqrt{2}). O eixo de rotação é o eixo-y. A tarefa é encontrar o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e motivo): existem duas abordagens clássicas para volumes de rotação em torno do eixo-y:
Método dos discos/aros (washers): integrar em y, cada fatia perpendicular ao eixo-y é um disco ou anel com raio dado por funções x(y).
Método das cascas cilíndricas (shells): integrar em x, cada faixa vertical rotacionada gera uma casca cilíndrica de raio =|x| e altura = diferença entre as curvas em y.
Aqui a escolha recai sobre o método das cascas porque a região entre as curvas, para x entre os pontos de interseção, tem altura simples em termos de x e o integral resultante é direto e exige apenas uma substituição simples. Além disso evita ter que dividir a integral em duas partes em y (o que seria necessário no método dos discos). Vou então usar cascas cilíndricas.
Passo 3
Encontrar os limites de integração (pontos de interseção das curvas). Igualamos as duas equações:
Portanto a região está entre x=-1 e x=1; para cada x nesse intervalo a parte inferior é y_{\text{inf}}=x^{2} e a superior é y_{\text{sup}}=\sqrt{2-x^{2}} (peguei y_{\text{sup}} da equação do círculo resolvida para y).
Passo 4
Fórmula das cascas cilíndricas (aula rápida): ao rotacionar uma faixa vertical de espessura dx, localizada em x, ela gera uma casca de raio =|x|, altura =h(x) e espessura dx. O volume aproximado dessa casca é \text{área lateral}\times dx = 2\pi(\text{raio})(\text{altura})\,dx. Integrando:
V = 2\pi\int_{x=a}^{x=b} (\text{raio})\cdot(\text{altura})\,dx.
Como o integrando é par (a altura é função par e |x| também), podemos integrar de 0 a 1 e multiplicar por 4 (ou usar simetria: 2\pi\int_{-1}^{1}|x|(\cdots)dx = 4\pi\int_{0}^{1} x(\cdots)dx). Assim:
V = 4\pi \int_{0}^{1} x\big(\sqrt{2-x^{2}}-x^{2}\big)\,dx.
Passo 5
Separar o integral em duas partes:
V = 4\pi\left(\int_{0}^{1} x\sqrt{2-x^{2}}\,dx \;-\; \int_{0}^{1} x^{3}\,dx\right).
Vamos calcular cada integral separadamente.
Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{2-x^{2}}\,dx por substituição. Tome
V = 4\pi\left(\tfrac{2\sqrt{2}}{3} - \tfrac{7}{12}\right) = \pi\left(\tfrac{8\sqrt{2}}{3} - \tfrac{28}{12}\right).
Simplificando \tfrac{28}{12}=\tfrac{7}{3}, fica
V = \pi\left(\tfrac{8\sqrt{2}}{3} - \tfrac{7}{3}\right) = \tfrac{\pi}{3}\big(8\sqrt{2}-7\big).
Passo 8
Interpretação e conferência rápida: o resultado é positivo e tem unidade de volume. A expressão \tfrac{\pi}{3}(8\sqrt{2}-7) é o volume exato. Se quiser um valor aproximado, 8\sqrt{2}\approx 11,3137 então 8\sqrt{2}-7\approx 4,3137 e V\approx \tfrac{\pi}{3}\cdot 4,3137\approx 4,519 (mas aqui mantemos a forma exata).