Exercício 17. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-y, da região limitada por:
c) y=x^{2} e x^{2}+y^{2}=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo- y, a região do plano limitada por:
y=x^{2}
e
x^{2}+y^{2}=2.
Informações dadas: as duas curvas são a parábola y=x^{2} e o círculo de equação x^{2}+y^{2}=2 (centro na origem e raio \sqrt{2}). O eixo de rotação é o eixo- y. A tarefa é encontrar o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivo): existem duas abordagens clássicas para volumes de rotação em torno do eixo- y:
  • Método dos discos/aros (washers): integrar em y, cada fatia perpendicular ao eixo- y é um disco ou anel com raio dado por funções x(y).
  • Método das cascas cilíndricas (shells): integrar em x, cada faixa vertical rotacionada gera uma casca cilíndrica de raio =|x| e altura = diferença entre as curvas em y.
Aqui a escolha recai sobre o método das cascas porque a região entre as curvas, para x entre os pontos de interseção, tem altura simples em termos de x e o integral resultante é direto e exige apenas uma substituição simples. Além disso evita ter que dividir a integral em duas partes em y (o que seria necessário no método dos discos). Vou então usar cascas cilíndricas.

Passo 3

Encontrar os limites de integração (pontos de interseção das curvas). Igualamos as duas equações:
y=x^{2},\qquad x^{2}+y^{2}=2 \Rightarrow x^{2}+(x^{2})^{2}=2.
Fazendo u=x^{2}:
u^{2}+u-2=0 \Rightarrow (u+2)(u-1)=0.
Como u=x^{2}\ge0 temos u=1, logo x^{2}=1 e
x=\pm 1,\qquad y=x^{2}=1.
Portanto a região está entre x=-1 e x=1; para cada x nesse intervalo a parte inferior é y_{\text{inf}}=x^{2} e a superior é y_{\text{sup}}=\sqrt{2-x^{2}} (peguei y_{\text{sup}} da equação do círculo resolvida para y).

Passo 4

Fórmula das cascas cilíndricas (aula rápida): ao rotacionar uma faixa vertical de espessura dx, localizada em x, ela gera uma casca de raio =|x|, altura =h(x) e espessura dx. O volume aproximado dessa casca é \text{área lateral}\times dx = 2\pi(\text{raio})(\text{altura})\,dxá. Integrando:
V = 2\pi\int_{x=a}^{x=b} (\text{raio})\cdot(\text{altura})\,dx.
Aqui \text{raio}=|x| e
\text{altura}=y_{\text{sup}}-y_{\text{inf}}=\sqrt{2-x^{2}}-x^{2}.
Como o integrando é par (a altura é função par e |x| também), podemos integrar de 0 a 1 e multiplicar por 4 (ou usar simetria: 2\pi\int_{-1}^{1}|x|(\cdots)dx = 4\pi\int_{0}^{1} x(\cdots)dx). Assim:
V = 4\pi \int_{0}^{1} x\big(\sqrt{2-x^{2}}-x^{2}\big)\,dx.

Passo 5

Separar o integral em duas partes:
V = 4\pi\left(\int_{0}^{1} x\sqrt{2-x^{2}}\,dx \;-\; \int_{0}^{1} x^{3}\,dx\right).
Vamos calcular cada integral separadamente.
Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{2-x^{2}}\,dx por substituição. Tome
u=2-x^{2}\quad\Rightarrow\quad du=-2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=-\tfrac{1}{2}\,du.
Quando x=0 temos u=2; quando x=1 temos u=1. Então:
\int_{0}^{1} x\sqrt{2-x^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{2}\int_{2}^{1} u^{1/2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du.
Integrando:
\tfrac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_{1}^{2} = \tfrac{1}{3}\big(2^{3/2}-1\big).
Lembre que 2^{3/2}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}. Então:
\int_{0}^{1} x\sqrt{2-x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{3}\big(2\sqrt{2}-1\big).

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x^{3}\,dx (bem direto):
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.

Passo 7

Substituir os resultados em V:
V = 4\pi\left(\tfrac{1}{3}\big(2\sqrt{2}-1\big) - \tfrac{1}{4}\right).
Fazer a álgebra cuidadosamente. Primeiro expandir:
\tfrac{1}{3}\big(2\sqrt{2}-1\big) - \tfrac{1}{4} = \tfrac{2\sqrt{2}}{3} - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4}.
Colocando em denominador comum 12:
\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{12},\qquad \tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{12}\quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{7}{12}.
Assim:
\tfrac{2\sqrt{2}}{3} - \tfrac{7}{12}.
Multiplicando por 4\pi:
V = 4\pi\left(\tfrac{2\sqrt{2}}{3} - \tfrac{7}{12}\right) = \pi\left(\tfrac{8\sqrt{2}}{3} - \tfrac{28}{12}\right).
Simplificando \tfrac{28}{12}=\tfrac{7}{3}, fica
V = \pi\left(\tfrac{8\sqrt{2}}{3} - \tfrac{7}{3}\right) = \tfrac{\pi}{3}\big(8\sqrt{2}-7\big).

Passo 8

Interpretação e conferência rápida: o resultado é positivo e tem unidade de volume. A expressão \tfrac{\pi}{3}(8\sqrt{2}-7) é o volume exato. Se quiser um valor aproximado, 8\sqrt{2}\approx 11,3137 então 8\sqrt{2}-7\approx 4,3137 e V\approx \tfrac{\pi}{3}\cdot 4,3137\approx 4,519 (mas aqui mantemos a forma exata).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}\big(8\sqrt{2}-7\big)

Exercícios relacionados