Exercício 16. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-
, da região limitada por:
e)
e
e)
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo-
da região limitada por
e
no intervalo
.
Informações dadas:
.
.
varia entre
e
.
O que precisamos encontrar: o volume do sólido de revolução gerado por essa região ao girar em torno do eixo-
.
Passo 2
Precisamos saber qual curva está “por cima” (maior
) no intervalo para identificar o raio externo e o raio interno da casca circular (método dos discos/aros). Vamos comparar
e
em
.
Defina
. Então
No intervalo
temos
, então
é crescente. Como
, para
temos
. Logo:
com igualdade apenas em
. Assim o raio externo (distância ao eixo-
) é
e o raio interno é
.
Passo 3
Método usado: discos/aros (washers). A ideia é: ao girar a região em torno do eixo-
, em cada
a secção transversal perpendicular ao eixo é um anel circular com raio externo
e raio interno
. O volume elementar é a área do anel vezes
:
Portanto o volume total é
onde
e
.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
e
. Assim
Vamos simplificar a integranda usando uma identidade trigonométrica. Recorde que a fórmula do ângulo duplo dá
Reorganizando,
Então podemos escrever
Passo 5
Calcule a primitiva de
. Sabemos que
pois derivando
obtemos
pelo fator da regra da cadeia. Portanto
Assim o volume é
Passo 6
Avalie a expressão nos limites. Primeiro calcule
nos extremos:
Substituindo:
Passo 7
Interpretação final: o volume é positivo e tem valor
. Faz sentido porque a região gera um “anel” ao longo do intervalo e a diferença das áreas radiais integradas dá esse resultado simples.