Exercício 16. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo- x, da região limitada por:
e) y=\operatorname{sen} x e y=\cos x, \pi / 4 \leq x \leq \pi / 2

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo- x da região limitada por y=\sin x e y=\cos x no intervalo \pi/4 \le x \le \pi/2.
Informações dadas:
\,y=\sin x.
\,y=\cos x.
\,x varia entre \pi/4 e \pi/2.
O que precisamos encontrar: o volume do sólido de revolução gerado por essa região ao girar em torno do eixo- x.

Passo 2

Precisamos saber qual curva está “por cima” (maior y) no intervalo para identificar o raio externo e o raio interno da casca circular (método dos discos/aros). Vamos comparar \sin x e \cos x em [\pi/4,\pi/2].
Defina f(x)=\sin x-\cos x. Então
f' (x)=\cos x+\sin x.
No intervalo \pi/4\le x\le\pi/2 temos \cos x+\sin x>0, então f é crescente. Como f(\pi/4)=\sin(\pi/4)-\cos(\pi/4)=0, para x>\pi/4 temos f(x)>0. Logo:
\sin x \ge \cos x\quad\text{em}\quad[\pi/4,\pi/2],
com igualdade apenas em x=\pi/4. Assim o raio externo (distância ao eixo- x) é \sin x e o raio interno é \cos x.

Passo 3

Método usado: discos/aros (washers). A ideia é: ao girar a região em torno do eixo- x, em cada x a secção transversal perpendicular ao eixo é um anel circular com raio externo R(x) e raio interno r(x). O volume elementar é a área do anel vezes dx:
dV = \pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx.
Portanto o volume total é
V=\int_{a}^{b}\pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx,
onde a=\pi/4 e b=\pi/2.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: R(x)=\sin x e r(x)=\cos x. Assim
V=\pi\int_{\pi/4}^{\pi/2}\big(\sin^2 x-\cos^2 x\big)\,dx.
Vamos simplificar a integranda usando uma identidade trigonométrica. Recorde que a fórmula do ângulo duplo dá
\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x.
Reorganizando,
\sin^2 x-\cos^2 x = -\cos 2x.
Então podemos escrever
V=\pi\int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cos 2x \,dx.

Passo 5

Calcule a primitiva de -\cos 2x. Sabemos que
\int \cos 2x \,dx = \tfrac{1}{2}\sin 2x,
pois derivando \tfrac{1}{2}\sin 2x obtemos \cos 2x pelo fator da regra da cadeia. Portanto
\int -\cos 2x \,dx = -\tfrac{1}{2}\sin 2x.
Assim o volume é
V=\pi\Big[-\tfrac{1}{2}\sin 2x\Big]_{x=\pi/4}^{x=\pi/2}.

Passo 6

Avalie a expressão nos limites. Primeiro calcule \sin 2x nos extremos:
\sin(2\cdot \tfrac{\pi}{2})=\sin \pi =0, \qquad \sin(2\cdot \tfrac{\pi}{4})=\sin \tfrac{\pi}{2}=1.
Substituindo:
V=\pi\Big(-\tfrac{1}{2}\big(\sin \pi - \sin \tfrac{\pi}{2}\big)\Big) =\pi\Big(-\tfrac{1}{2}(0-1)\Big) =\pi\cdot \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Interpretação final: o volume é positivo e tem valor \tfrac{\pi}{2}. Faz sentido porque a região gera um “anel” ao longo do intervalo e a diferença das áreas radiais integradas dá esse resultado simples.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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