Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{5 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite, quando x tende a +\infty, da função
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{5x}.
Ou seja, encontrar o valor de
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{5x}
ou explicar por que esse limite não existe. As informações dadas são apenas a expressão indicada e o comportamento de x (tendendo a +\infty).

Passo 2

Uma técnica padrão para limites que envolvem potências é tomar o logaritmo natural da expressão, porque a exponencial é contínua e transforma potências em produtos — isso simplifica muito o cálculo. Defino
y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{5x}.
Para x>0 a base \left(1+\dfrac{1}{x}\right) é positiva, então \ln(y) está bem definida. Tomando logaritmo natural:
\ln(y)=5x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Se eu conseguir calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(y) e esse limite for finito igual a L, então pela continuidade da exponencial segue que
\lim_{x\to+\infty} y = \mathrm{e}^L.

Passo 3

Calculo o limite de \ln(y). Observe que
\lim_{x\to+\infty}\ln(y)=\lim_{x\to+\infty}5x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=5\cdot\lim_{x\to+\infty}x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right),
caso o limite interno exista. Então foco em
\lim_{x\to+\infty}x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Esse é um limite do tipo 0/0 se reescrito como quociente; escrevo
x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}.
Quando x\to+\infty temos \ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\to0 e \dfrac{1}{x}\to0, então é legítimo tentar a regra de l’Hôpital.

Passo 4

Aplico a regra de l’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = -\frac{1}{x^{2}+x}.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Fazendo a razão das derivadas:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{d}{dx}\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{-\dfrac{1}{x^{2}+x}}{-\dfrac{1}{x^{2}}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}+x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}=1.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=1.

Passo 5

Voltando a \ln(y), temos
\lim_{x\to+\infty}\ln(y)=5\cdot 1 = 5.
Como a exponencial é contínua, daí segue
\lim_{x\to+\infty} y = \mathrm{e}^{\,5}.
Como verificação alternativa (curtinha): também se pode usar o fato clássico \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}. Então
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{5x}=\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{5}\longrightarrow \mathrm{e}^{5}.

Passo 6

Conclusão sobre existência: o limite existe, é finito e igual a \mathrm{e}^{5}. (Resumo curto: o logaritmo tende a 5, então a potência tende a \mathrm{e}^{5}.)

Resposta

\mathrm{e}^{5}

Exercícios relacionados