Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite, quando
tende a
, da função
Ou seja, encontrar o valor de
ou explicar por que esse limite não existe. As informações dadas são apenas a expressão indicada e o comportamento de
(tendendo a
).
Passo 2
Uma técnica padrão para limites que envolvem potências é tomar o logaritmo natural da expressão, porque a exponencial é contínua e transforma potências em produtos — isso simplifica muito o cálculo. Defino
Para
a base
é positiva, então
está bem definida. Tomando logaritmo natural:
Se eu conseguir calcular
e esse limite for finito igual a
, então pela continuidade da exponencial segue que
Passo 3
Calculo o limite de
. Observe que
caso o limite interno exista. Então foco em
Esse é um limite do tipo
se reescrito como quociente; escrevo
Quando
temos
e
, então é legítimo tentar a regra de l’Hôpital.
Passo 4
Aplico a regra de l’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Fazendo a razão das derivadas:
Portanto
Passo 5
Voltando a
, temos
Como a exponencial é contínua, daí segue
Como verificação alternativa (curtinha): também se pode usar o fato clássico
. Então
Passo 6
Conclusão sobre existência: o limite existe, é finito e igual a
. (Resumo curto: o logaritmo tende a
, então a potência tende a
.)