Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=\mathbb{R}^{2} e W=\{(x, y) \mid x y=0\}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbb{R}^2 e o subconjunto
W = \{(x,y)\mid xy=0\}.
Para que W seja subespaço de V devemos verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, notamos que (0,0)\in W pois 0\cdot0=0, então W\neq\emptyset. Agora, para testar o fechamento sob soma, escolhemos
u=(1,0)\in W\quad\text{e}\quad v=(0,1)\in W,
já que 1\cdot0=0 e 0\cdot1=0. A soma é
u+v=(1,0)+(0,1)=(1,1),
e nesse vetor temos 1\cdot1=1\neq0, logo (1,1)\notin W. Portanto, W não é fechado sob soma de vetores.

Resposta

W não é subespaço de V, pois falha a propriedade de fechamento sob soma: (1,0),(0,1)\in W mas (1,0)+(0,1)=(1,1)\notin W.

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