Se p(x)=2 x^{2}-3 x+1, o conjunto \alpha=\left\{p(x), p^{\prime}(x), p^{\prime \prime}(x)\right\} é uma base de P_{2}(x) ?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=2x^{2}-3x+1 e forma o conjunto
\alpha=\bigl\{p(x),\,p'(x),\,p''(x)\bigr\}
no espaço vetorial P_{2}(x) de dimensão 3. Precisamos verificar se esses três polinômios são linearmente independentes, pois então formarão uma base de P_{2}(x).

Passo 2

Calculamos as derivadas de p(x):
p'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}-3x+1\bigr)=4x-3,
p''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x-3\bigr)=4.

Passo 3

Considere uma combinação linear nula:
a\,p(x)+b\,p'(x)+c\,p''(x)=0,\quad\text{para todos }x,
isto é,
a\,(2x^{2}-3x+1)+b\,(4x-3)+c\cdot4=0.

Passo 4

Igualando coeficientes de potências de x\) a zero, obtemos o sistema \[\begin{cases} x^{2}:\;2a=0,\\\ x^{1}:\;-3a+4b=0,\\\ x^{0}:\;a-3b+4c=0. \end{cases}
Da primeira equação vem a=0\]. Substituindo em \(-3\cdot0+4b=0 b=0. Substituindo a=b=0 na última equação dá 4c=0, ou seja c=0. Logo a única solução é a=b=c=0, o que prova que os polinômios são linearmente independentes. Como são três vetores em um espaço de dimensão três, eles formam uma base.

Resposta

Sim. O conjunto \alpha é base de P_{2}(x).

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