Exercício 17. (D.K. ex. 14.27) .Determine as transformadas de Fourier das seguintes funções:
sen(x)x.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(x)=sin(x)x,
usando a convenção
F(omega)=integral-infty^inftyf(x),e^-iomega x,dx
Para resolver vamos usar o teorema da dualidade e a transformada de uma função retangular.

Passo 2

Definimos a função retangular
chi[-1,1](t)= 1,&|t|<=1, 0,&|t|>1
Sua transformada de Fourier é
integral-1^1e^-iomega t,dt =e^-iomega t-iomega|t=-1^t=1 =e^-iomega-e^iomega-iomega =2,sin(omega)omega

Passo 3

Pelo teorema da dualidade, se
g(t);long<=ftrightarrow;G(omega),
então
G(t);long<=ftrightarrow;2pi,g(-omega)
Aqui temos
g(t)=chi[-1,1](t) e G(omega)=2,sin(omega)omega
Logo, pela dualidade,
2,sin(t)t ;long<=ftrightarrow; 2pi,chi[-1,1](-omega) =2pi,chi[-1,1](omega)

Passo 4

Basta dividir ambos os lados por 2 para obter a transformada de
Em outras palavras,
e em no sentido de distribuições.

Resposta

F(omega)= pi,&|omega|<1, 0,&|omega|>1, com F(pm1)=pi2

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