Exercício 18. (D.K. ex. 14.45). Considere e . Seja . Prove que e que
Calcule .
Passo 1
O enunciado define, para com , a função
e pede para mostrar que, para , a função
determina uma distribuição temperada em , que em quando com , e finalmente calcular a transformada de Fourier de . Vamos usar que, para , , o teorema da convergência dominada e a integral de Gauss complexa.
Passo 2
Para ver que , basta notar que, para qualquer teste ,
é bem definida, pois
e varphi decai mais rápido que qualquer polinômio, garantindo convergência da integral.
Como e^-ax^22to e^-i,tx^22 ponto a ponto e, para Re(a)>0, l|e^-ax^22varphi(x)r|<=|varphi(x)|in L^1(R),
o teorema da convergência dominada implica limato itlang<= ua-uit,varphirang<==0. Logo uato uit em S'.