Exercício 18. (D.K. ex. 14.45). Considere ua(x)=e^-a x^22, a in C e Re(a) >= 0. Seja t in R. Prove que ui t in S^prime(R) e que
lim a i t, Re(a)>0 ua=ui t em S^prime(R^n)
Calcule F(ui t).

Passo 1

O enunciado define, para ainC com Re(a)>=0, a função
ua(x)=e^-ax^22,
e pede para mostrar que, para tinR, a função
uit(x)=e^-i,tx^22
determina uma distribuição temperada em S'(R), que uato uit em S' quando ato it com Re(a)>0, e finalmente calcular a transformada de Fourier de uit. Vamos usar que, para Re(a)>0, uainS(R), o teorema da convergência dominada e a integral de Gauss complexa.

Passo 2

Para ver que uitinS'(R), basta notar que, para qualquer teste varphiinS(R),
llang<= uit,varphirrang<= =integralRe^-i,tx^22;varphi(x),dx
é bem definida, pois
l|e^-i,tx^22varphi(x)r|=|varphi(x)|
e varphi decai mais rápido que qualquer polinômio, garantindo convergência da integral.

Passo 3

Para mostrar uato uit em S', considere
llang<= ua-uit,varphirrang<= =integralRl(e^-ax^22-e^-i,tx^22r)varphi(x),dx
Como e^-ax^22to e^-i,tx^22 ponto a ponto e, para Re(a)>0,
l|e^-ax^22varphi(x)r|<=|varphi(x)|in L^1(R),
o teorema da convergência dominada implica
limato itlang<= ua-uit,varphirang<==0. Logo uato uit em S'.

Passo 4

Agora calculamos
Fl(uitr)(xi) =integralRe^-i,tx^22;e^-i,xi x,dx =integralRexp!l(-it2x^2 - i,xi xr),dx
Completemos o quadrado no expoente:
-it2x^2 - i,xi x =-it2l(x+xitr)^2 + i,xi^22t
Fazendo a mudança de variável
y=raiz|t|2l(x+tfracxitr),
temos
dx=raiz2|t|;dy, -it2l(x+xitr)^2 =-,isign(t),y^2
Então
Fl(uitr)(xi) =e^,ixi^22t;raiz2|t| integralRe^-i,sign(t),y^2,dy
Sabe‐se que
integralRe^-i,sign(t),y^2,dy =raizpi,exp!l(-i,sign(t),tfracpi4r)
Portanto,
Fl(uitr)(xi) =raiz2pi|t|;exp!l(i,xi^22t-i,sign(t),pi4r)

Resposta

Fl(uitr)(xi) =raiz2pi|t|;exp!l(i,xi^22t-i,sign(t),pi4r)

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