Exercício 18 (D.L.6.30)
Mostre que o sistema
não tem soluções periódicas no primeiro quadrante do plano
. (Sugestão: use o exercício anterior com
)
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede para mostrar que não há soluções periódicas no primeiro quadrante
. O conteúdo aqui é o critério de Dulac (exercício anterior), que diz: se existe uma função
de classe
tal que
não muda de sinal e não se anula em toda uma região, então não há órbitas periódicas nela. Vamos usar
.
Passo 2
Para simplificar, escrevemos
,
,
e escolhemos
Passo 3
Calculamos
e
:
Passo 4
Agora obtemos a divergência ponderada:
Somando,
Passo 5
No primeiro quadrante temos
e
, logo
em toda a região. Como essa expressão não muda de sinal nem se anula, pelo critério de Dulac concluímos que não podem existir soluções periódicas no primeiro quadrante.
Resposta
Não há soluções periódicas no primeiro quadrante.