Exercício 18 (D.L.6.30)
Mostre que o sistema
c x1^prime=x1(3-2 x1-2 x2) x2^prime=x2(2-2 x1-x2)
não tem soluções periódicas no primeiro quadrante do plano x1 x2. (Sugestão: use o exercício anterior com rho(x, y)= (x y)^-1 )

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x1' = x1(3 - 2x1 - 2x2) x2' = x2(2 - 2x1 - x2)
e pede para mostrar que não há soluções periódicas no primeiro quadrante x1>0,;x2>0. O conteúdo aqui é o critério de Dulac (exercício anterior), que diz: se existe uma função rho(x1,x2) de classe C^1 tal que
partialpartial x1l(rho f1r)+partialpartial x2l(rho f2r)
não muda de sinal e não se anula em toda uma região, então não há órbitas periódicas nela. Vamos usar rho(x1,x2)=(x1x2)^-1.

Passo 2

Para simplificar, escrevemos x=x1, y=x2,
f1(x,y)=xl(3-2x-2yr), f2(x,y)=yl(2-2x-yr),
e escolhemos
rho(x,y)=1xy

Passo 3

Calculamos rho f1 e rho f2:
rho f1=x(3-2x-2y)xy=3-2x-2yy, rho f2=y(2-2x-y)xy=2-2x-yx

Passo 4

Agora obtemos a divergência ponderada:
partialpartial xl(rho f1r) =partialpartial xl(3-2x-2yyr) =-2y,
partialpartial yl(rho f2r) =partialpartial yl(2-2x-yxr) =-1x
Somando,
partialpartial x(rho f1) +partialpartial y(rho f2) =-2y-1x

Passo 5

No primeiro quadrante temos x>0 e y>0, logo
-2y-1x<0
em toda a região. Como essa expressão não muda de sinal nem se anula, pelo critério de Dulac concluímos que não podem existir soluções periódicas no primeiro quadrante.

Resposta

Não há soluções periódicas no primeiro quadrante.

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