Exercício 17 (D.L.4.3)
Sejam
um campo de classe
, em que
é um aberto. Seja
uma solução definida em toda reta e tal que
, em que
. Mostre que
.
Sejam
Passo 1
O enunciado trata do sistema autônomo
onde
é de classe
em
aberto. Há uma solução
que satisfaz
O objetivo é mostrar que
.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
Como
é contínua em
, existe
e
tais que
Passo 3
Pela convergência
, existe
tal que para todo
vale
. Logo, para
,
Passo 4
Para
e
temos
Isso impede que
seja Cauchy quando
é fixado (basta escolher
para que
), contradizendo a convergência de
.
Resposta
Portanto, a hipótese de que
leva a contradição, e deve-se ter