Exercício 17 (D.L.4.3)
Sejam f: E R^n um campo de classe C^1, em que E subset R^n é um aberto. Seja x uma solução definida em toda reta e tal que lim t infty x(t)=z0, em que z0 in E. Mostre que f(z0)=0.

Passo 1

O enunciado trata do sistema autônomo
x'(t)=fl(x(t)r),
onde fcolon EtoR^n é de classe C^1 em EsubsetR^n aberto. Há uma solução xcolonRto E que satisfaz
limttoinftyx(t)=z0in E
O objetivo é mostrar que f(z0)=0.

Passo 2

Suponha, por contradição, que
f(z0)neq 0
Como f é contínua em z0, existe de<a>0 e varepsilon>0 tais que
|x-z0|<de<aLongrightarrow|f(x)|>2varepsilon

Passo 3

Pela convergência x(t)to z0, existe T tal que para todo t>= T vale |x(t)-z0|<de<a. Logo, para t>= T,
|x'(t)|=|f(x(t))|>2varepsilon

Passo 4

Para t>= T e h>0 temos
|x(t+h)-x(t)|;>=;integralt^t+h|x'(s)|,ds ;>;integralt^t+h2varepsilon,ds ;=;2varepsilon,h
Isso impede que (x(t)) seja Cauchy quando h é fixado (basta escolher h=de<a/(2varepsilon) para que |x(t+h)-x(t)|>de<a), contradizendo a convergência de x(t).

Resposta

Portanto, a hipótese de que f(z0)neq0 leva a contradição, e deve-se ter
f(z0)=0

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