Exercício 18 (D.L.4.5)
Seja f: R R um campo de classe C^1 com uma solução máxima não constante x: I R de x^prime=f(x) tal que a imagem x(I) é limitada. Mostre que:
a) I=R
b) x é estritamente monótona.
c) x(I) é um intervalo aberto limitado ] a, b[.
d) $f(a)=f(b)=0.

Passo 1

O enunciado trata de uma EDO autônoma
x' = f(x),
onde f:RtoR é de classe C^1. Temos uma solução máxima não constante x:ItoR cuja imagem x(I) é limitada. Vamos usar os teoremas de existência e unicidade (Picard–Lindel"of) e de extensão de soluções para EDOs autônomas, além de propriedades de funções monotô-nas e argumentos de prolongamento até fronteira.

Passo 2

Como x(I) é limitada, existe um compacto KsubsetR com x(I)subset K. Em K, f é Lipschitz (pois é C^1), logo a solução não pode explodir em tempo finito: sempre que tentássemos alcançar um extremo de I, poderíamos prolongar a solução além dele. Da maximalidade de x segue que não há limite de extensão finito, isto é, I=R.

Passo 3

Se em algum t0in I tivéssemos f(x(t0))=0, então por unicidade a solução seria constante igual a x(t0), contradizendo a hipótese. Logo f(x(t))neq0 para todo t, e como f(x(t)) é contínuo, tem sinal fixo. Então x'(t)=f(x(t)) mantém sinal constante e x é estritamente monótona.

Passo 4

Uma função contínua e estritamente monótona x:Rto x(I) é um homeomorfismo de R sobre um intervalo aberto. Como x(I) é limitado, este intervalo deve ser da forma ]a,b[ para certos números reais a<b.

Passo 5

Vamos mostrar f(b)=0 (o caso a é análogo). Se f(b)neq0, suponha por exemplo f(b)>0. Pela continuidade de f existe varepsilon>0 tal que f(x)>= de<a>0 em [b-varepsilon,b]. Mas então, sempre que x(t)in[b-varepsilon,b[, teríamos
x'(t)=f(x(t))>=de<a>0
e em tempo finito x(t) alcançaria o valor b, contradizendo x(I)=]a,b[. Logo f(b)=0. Similarmente mostra-se f(a)=0.

Resposta

a) I=R
b) x é estritamente monótona.
c) x(I)=,]a,b[, intervalo aberto e limitado.
d) f(a)=0 e f(b)=0

Exercícios relacionados