Exercício 18 (D.L.4.5)
Seja
um campo de classe
com uma solução máxima não constante
de
tal que a imagem
é limitada. Mostre que:
a)
b)
é estritamente monótona.
c)
é um intervalo aberto limitado
.
d) $f(a)=f(b)=0.
Seja
a)
b)
c)
d) $f(a)=f(b)=0.
Passo 1
O enunciado trata de uma EDO autônoma
onde
é de classe
. Temos uma solução máxima não constante
cuja imagem
é limitada. Vamos usar os teoremas de existência e unicidade (Picard–Lindel"of) e de extensão de soluções para EDOs autônomas, além de propriedades de funções monotô-nas e argumentos de prolongamento até fronteira.
Passo 2
Como
é limitada, existe um compacto
com
. Em
,
é Lipschitz (pois é
), logo a solução não pode explodir em tempo finito: sempre que tentássemos alcançar um extremo de
, poderíamos prolongar a solução além dele. Da maximalidade de
segue que não há limite de extensão finito, isto é,
.
Passo 3
Se em algum
tivéssemos
, então por unicidade a solução seria constante igual a
, contradizendo a hipótese. Logo
para todo
, e como
é contínuo, tem sinal fixo. Então
mantém sinal constante e
é estritamente monótona.
Passo 4
Uma função contínua e estritamente monótona
é um homeomorfismo de
sobre um intervalo aberto. Como
é limitado, este intervalo deve ser da forma
para certos números reais
.
Passo 5
Vamos mostrar
(o caso
é análogo). Se
, suponha por exemplo
. Pela continuidade de
existe
tal que
em
. Mas então, sempre que
, teríamos
e em tempo finito
alcançaria o valor
, contradizendo
. Logo
. Similarmente mostra-se
.
Resposta
a)
b) é estritamente monótona.
c) , intervalo aberto e limitado.
d) e
b)
c)
d)