Exercício 17. (ELJ 75) Seja
uma função de classe
tal que
, para algum
, para todo
. Mostre que
é invertível e
.
Passo 1
O enunciado dá uma função de classe
,
, e diz que existe
tal que
e que para todo
Queremos mostrar que
é invertível e que, na verdade,
.
Passo 2
Definimos a composição
Pela regra da cadeia, sua derivada é
Passo 3
Considere a função
Então
ou seja, todas as derivadas parciais de
são zero, o que implica que
é constante em
.
Passo 4
Como
é constante,
para todo
. Mas
Logo
em
, e portanto
Passo 5
A igualdade
mostra que
tem inversa (é bijetora e diferenciável) e que justamente
Resposta
Mostramos que
, logo
é invertível e
.