Exercício 17. (ELJ 75) Seja f: R^n R^n uma função de classe C^1 tal que f circ f(x0)=x0, para algum x0 in R^n e d f(f(x)) d f(x)=I, para todo x in R^n. Mostre que f é invertível e f^-1=f.

Passo 1

O enunciado dá uma função de classe C^1, f: R^nto R^n, e diz que existe x0 tal que
fl(f(x0)r)=x0
e que para todo x
d fl(f(x)r),d f(x)=I
Queremos mostrar que f é invertível e que, na verdade, f^-1=f.

Passo 2

Definimos a composição
g(x)=fl(f(x)r)
Pela regra da cadeia, sua derivada é
Dg(x) = Dl(fcirc fr)(x) = Dfl(f(x)r)cdot Df(x) =I

Passo 3

Considere a função
h(x)=g(x)-x
Então
Dh(x)=Dg(x)-I=I-I=0,
ou seja, todas as derivadas parciais de h são zero, o que implica que h é constante em R^n.

Passo 4

Como h é constante, h(x)=h(x0) para todo x. Mas
h(x0)=g(x0)-x0 =fl(f(x0)r)-x0 =x0-x0=0
Logo h(x)=0 em R^n, e portanto
g(x)=x Longrightarrow fl(f(x)r)=x forall x

Passo 5

A igualdade fcirc f=id mostra que f tem inversa (é bijetora e diferenciável) e que justamente
f^-1=f

Resposta

Mostramos que fcirc f=id, logo f é invertível e f^-1=f.

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