Questão 1 (2.5 pts) Seja W o sólido limitado pelos planos z=0 e z=h, onde h= cte. >0 e os cilindros x^2+y^2=a e x^2+y^2=b, onde a e b são constantes tais que b>a>0. Dermine o momento de inércia do sólido W em relação ao eixo Z supondo que a densidade de W é constante igual a K.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia do sólido W em torno do eixo Z. O sólido é um cilindro anelar de densidade constante K, com altura h e raios interno a e externo b. Para resolver vamos usar a definição de momento de inércia em coordenadas cilíndricas e executar um triplo integral.

Passo 2

Pela definição,
IZ ;=;integral triplaWrho,(x^2+y^2),dV
Como a densidade é constante ( rho=K) e em coordenadas cilíndricas x^2+y^2=r^2, temos
IZ ;=;K;integral triplaWr^2,dV

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz e os limites são
0<= z<= h, 0<= theta<= 2pi, a<= r<= b
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IZ =Kintegralz=0^h!integraltheta=0^2pi!integralr=a^br^2,(r,dr,dtheta,dz) =Kintegral0^h!integral0^2pi!integrala^br^3,dr,dtheta,dz

Passo 4

Calculando as integrais em sequência:
integrala^br^3,dr=b^4-a^44, integral0^2pidtheta=2pi, integral0^hdz=h
Portanto
IZ =K;gl(b^4-a^44gr);(2pi);(h) =pi K,h2,l(b^4-a^4r)

Resposta

IZ=pi,K,h2,l(b^4-a^4r)

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