integral x^4 d x(x^2-1)(x+2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^4l(x^2-1r),(x+2),dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais. Como o grau do numerador ( 4) é maior que o do denominador ( 3), vamos primeiro fazer divisão de polinômios para obter uma parte polinomial mais uma fração própria, e depois usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão de
x^4(x^2-1)(x+2)=x^4x^3+2x^2-x-2
por x^3+2x^2-x-2. O quociente é x-2 e o resto é 5x^2-4. Logo
x^4(x^2-1)(x+2)=x-2+5x^2-4(x-1)(x+1)(x+2)

Passo 3

Agora decompondo a parte própria em frações parciais, escrevemos
5x^2-4(x-1)(x+1)(x+2) =Ax-1+Bx+1+Cx+2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1)(x+2) fica
5x^2-4 =A(x+1)(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)(x+1)
Expandindo e igualando coeficientes em x^2, x e termo constante, obtemos o sistema
A+B+C=5, 3A+B=0, 2A-2B-C=-4

Passo 4

Resolvendo o sistema, de 3A+B=0 vem B=-3A. Substituindo em A+B+C=5 C=5+2A. Na terceira equação surge
2A-2(-3A)-(5+2A)=-4 ;Longrightarrow;6A-5=-4 ;Longrightarrow;A=tfrac16
Logo
A=tfrac16, B=-tfrac12, C=tfrac163

Passo 5

Reescrevendo a integral com essas partes, temos
integral x^4(x^2-1)(x+2),dx =integral(x-2),dx +integrall(tfrac16,1x-1-tfrac12,1x+1 +tfrac163,1x+2r),dx
Integrando termo a termo:
integral(x-2),dx =x^22-2x,
integral16,dxx-1 =16lnlvert x-1rvert, integrall(-tfrac12r)dxx+1 =-12lnlvert x+1rvert,
integraltfrac163,dxx+2 =163lnlvert x+2rvert

Resposta

integral x^4(x^2-1)(x+2),dx =x^22-2x +16lnlvert x-1rvert -12lnlvert x+1rvert +163lnlvert x+2rvert +C

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