Exercício 6.8.17. Estudar a diagonalizabilidade dos operadores em \mathbb{R}^{3} que possuem as seguintes matrizes representativas na base canônica:
\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{lll} 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)
Quando for possível diagonalizar.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diagonalizabilidade de dois operadores em \mathbb{R}^3 cujas matrizes na base canônica são
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é diagonalização: precisamos encontrar os autovalores de cada matriz, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e comparar para decidir se cada uma é diagonalizável.

Passo 2

Para A, note que todas as linhas são iguais, logo \operatorname{rank}(A)=1. Isso implica que zero é um autovalor de multiplicidade algébrica 2 e que o único autovalor não nulo é dado pela soma dos elementos de cada linha, isto é, 3, com multiplicidade algébrica 1.
  • Autovalor \lambda=3: escolhemos v=(1,1,1), pois
A\,v = \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&1&1\\\ 1&1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix} =3\,v.
A dimensão do espaço próprio é 1, igual à multiplicidade algébrica.
  • Autovalor \lambda=0: o espaço nulo de A tem dimensão 3-\operatorname{rank}(A)=2, igual à multiplicidade algébrica de 0.
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, A é diagonalizável.

Passo 3

Para B, é triangular superior, então os autovalores são as entradas da diagonal: 3 (algébrica 2) e 2 (algébrica 1).
Calculemos o espaço próprio de \lambda=3 resolvendo
(B-3I)x = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
As equações são x_2=0, 2x_3=0 e -x_3=0, de onde x_2=x_3=0 e x_1 livre. Assim o espaço próprio de 3 tem dimensão 1, mas a multiplicidade algébrica é 2.
Como a multiplicidade geométrica de 3 (que é 1) é menor que a algébrica (que é 2), B não é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável.
A matriz B não é diagonalizável.

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