Exercício 17. Explique por que não existe uma lista de seis polinômios linearmente independentes em
.
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que não existe uma lista de seis polinômios linearmente independentes em
. O conteúdo que vamos usar é espaço vetorial de polinômios de grau até 4, bases, dimensão e a relação entre dimensão e independência linear.
Passo 2
Definimos
Um conjunto gerador evidente é
que tem exatamente 5 elementos. Como esses polinômios são linearmente independentes, eles formam uma base e
Passo 3
Um teorema fundamental de espaços vetoriais afirma que em um espaço de dimensão
não há listas com mais de
vetores linearmente independentes. Aqui
, de modo que toda lista com 6 polinômios em
será necessariamente linearmente dependente.
Passo 4
Uma outra forma de ver isso é escrever seis polinômios quaisquer
e considerar a combinação linear nula
Igualando coeficientes de
para
, obtemos um sistema de 5 equações lineares em 6 incógnitas
. Um sistema com mais incógnitas do que equações sempre admite solução não trivial, mostrando a dependência linear.
Resposta
Não existe lista de seis polinômios linearmente independentes em
porque
, logo qualquer lista com mais de 5 vetores é linearmente dependente.