Exercício 17. Explique por que não existe uma lista de seis polinômios linearmente independentes em \mathcal{P}_{4}(\mathbb{F}).

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que não existe uma lista de seis polinômios linearmente independentes em \mathcal{P}_{4}(\mathbb{F}). O conteúdo que vamos usar é espaço vetorial de polinômios de grau até 4, bases, dimensão e a relação entre dimensão e independência linear.

Passo 2

Definimos
\mathcal{P}_{4}(\mathbb{F}) = \bigl\{a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4}\mid a_{i}\in\mathbb{F}\bigr\}.
Um conjunto gerador evidente é
\{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;x^{4}\},
que tem exatamente 5 elementos. Como esses polinômios são linearmente independentes, eles formam uma base e
\dim\bigl(\mathcal{P}_{4}(\mathbb{F})\bigr)=5.

Passo 3

Um teorema fundamental de espaços vetoriais afirma que em um espaço de dimensão n não há listas com mais de n vetores linearmente independentes. Aqui n=5, de modo que toda lista com 6 polinômios em \mathcal{P}_{4}(\mathbb{F}) será necessariamente linearmente dependente.

Passo 4

Uma outra forma de ver isso é escrever seis polinômios quaisquer
p_j(x)=a_{0j}+a_{1j}x+\cdots+a_{4j}x^{4},\quad j=1,\dots,6,
e considerar a combinação linear nula
c_{1}p_{1}(x)+\cdots+c_{6}p_{6}(x)=0.
Igualando coeficientes de x^{k} para k=0,1,2,3,4, obtemos um sistema de 5 equações lineares em 6 incógnitas c_{1},\dots,c_{6}. Um sistema com mais incógnitas do que equações sempre admite solução não trivial, mostrando a dependência linear.

Resposta

Não existe lista de seis polinômios linearmente independentes em \mathcal{P}_{4}(\mathbb{F}) porque \dim\bigl(\mathcal{P}_{4}(\mathbb{F})\bigr)=5, logo qualquer lista com mais de 5 vetores é linearmente dependente.

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