Exercício 13. Mostre que, considerando
como um espaço vetorial sobre
, então a lista
é linearmente independente. E se fosse sobre
?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, visto
como espaço vetorial sobre
, a lista de vetores
é linearmente independente. Em seguida, pergunta o que ocorre se considerarmos
como espaço vetorial sobre
. O conteúdo necessário é a definição de independência linear e o uso de partes real e imaginária para separar equações.
Passo 2
Lembrando a definição: vetores
num espaço sobre um corpo
são linearmente independentes se, na equação
com
, segue que
.
Passo 3
Primeiro, considere
como espaço sobre
. Seja
com
. Desenvolvendo,
Reunindo parte real e parte imaginária:
Passo 4
Igualando coeficientes de parte real e imaginária, obtemos o sistema em
Somando as duas equações dá
. Logo
, e a lista é linearmente independente sobre
.
Passo 5
Agora, considere
como espaço sobre
. Nesse caso, a dimensão de
sobre si mesmo é
, logo toda lista com mais de um vetor é automaticamente linearmente dependente. Para verificar explicitamente, basta encontrar
, não ambos nulos, tais que
Por exemplo, escolha
e
. Então
com
ou
. Logo são linearmente dependentes sobre
.
Resposta
Visto como espaço sobre
, a lista
é linearmente independente.
Visto como espaço sobre , a lista é linearmente dependente.
Visto como espaço sobre