Exercício 13. Mostre que, considerando \mathbb{C} como um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, então a lista
1+i, 1-i
é linearmente independente. E se fosse sobre \mathbb{C} ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, visto \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{R}, a lista de vetores
1+i,\quad 1-i
é linearmente independente. Em seguida, pergunta o que ocorre se considerarmos \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{C}. O conteúdo necessário é a definição de independência linear e o uso de partes real e imaginária para separar equações.

Passo 2

Lembrando a definição: vetores v_1,v_2 num espaço sobre um corpo K são linearmente independentes se, na equação
\alpha\,v_1+\beta\,v_2=0,
com \alpha,\beta\in K, segue que \alpha=\beta=0.

Passo 3

Primeiro, considere \mathbb{C} como espaço sobre \mathbb{R}. Seja
a(1+i)+b(1-i)=0,
com a,b\in\mathbb{R}. Desenvolvendo,
a + a\,i + b - b\,i =0.
Reunindo parte real e parte imaginária:
(a+b) + (a-b)\,i =0 + 0\,i.

Passo 4

Igualando coeficientes de parte real e imaginária, obtemos o sistema em \mathbb{R}\): \[\begin{cases} a+b=0,\\\ a-b=0. \end{cases}
Somando as duas equações dá 2a=0\implies a=0\]. Subtraindo dá \(2b=0\implies b=0. Logo a=b=0, e a lista é linearmente independente sobre \mathbb{R}.

Passo 5

Agora, considere \mathbb{C} como espaço sobre \mathbb{C}. Nesse caso, a dimensão de \mathbb{C} sobre si mesmo é 1, logo toda lista com mais de um vetor é automaticamente linearmente dependente. Para verificar explicitamente, basta encontrar \alpha,\beta\in\mathbb{C}, não ambos nulos, tais que
\alpha(1+i)+\beta(1-i)=0.
Por exemplo, escolha \alpha=i e \beta=1. Então
i(1+i)+1\cdot(1-i)=i + i^2 +1 - i = i -1 +1 - i =0,
com \alpha=i\neq0 ou \beta=1\neq0. Logo são linearmente dependentes sobre \mathbb{C}.

Resposta

Visto como espaço sobre \mathbb{R}, a lista \{1+i,\,1-i\} é linearmente independente.
Visto como espaço sobre \mathbb{C}, a lista é linearmente dependente.

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