Exercício 17. (F. 7.4, ex.1) Calcule as seguintes transformadas de Fourier seno e cosseno:
Fs(e^-k x)

Passo 1

Estamos querendo as transformadas de Fourier cosseno e seno de f(x)=e^-k x em x>=0. As definições que vamos usar são
Fcl[fr](omega) =integral0^inftyf(x)cos(omega x),dx, Fsl[fr](omega) =integral0^inftyf(x)sin(omega x),dx
Aqui k>0 garante convergência das integrais.

Passo 2

Para a transformada cosseno usamos a integral
integral0^inftye^-a xcos(b x),dx =Reintegral0^inftye^-(a - i b)x,dx =Rel[1a - i br] =aa^2+b^2,
válida quando Re(a)>0. Tomando a=k e b=omega, obtemos
Fcl[e^-k xr](omega) =integral0^inftye^-k xcos(omega x),dx =kk^2+omega^2

Passo 3

Para a transformada seno usamos
integral0^inftye^-a xsin(b x),dx =Imintegral0^inftye^-(a - i b)x,dx =Iml[1a - i br] =ba^2+b^2
De novo com a=k e b=omega segue
Fsl[e^-k xr](omega) =integral0^inftye^-k xsin(omega x),dx =omegak^2+omega^2

Resposta

Fcl[e^-k xr](omega)=kk^2+omega^2, Fsl[e^-k xr](omega)=omegak^2+omega^2

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