Utilizando técnicas de integração, determine:
(1,5) integral ln (1+x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral lnl(1+x^2r),dx
usando técnicas de integração. O conteúdo aqui é integração por partes, que serve para integrar produtos onde uma parte é fácil de derivar (o logaritmo, no caso) e a outra fácil de integrar.

Passo 2

Escolhemos as partes para aplicar a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
Tomamos
u = lnl(1+x^2r), dv = dx
Então derivamos e integramos:
du = 2x1+x^2,dx, v = x

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes, obtemos
integral lnl(1+x^2r),dx = x,lnl(1+x^2r) - integral xcdot2x1+x^2,dx = x,lnl(1+x^2r) - integral 2x^21+x^2,dx

Passo 4

Precisamos agora calcular
integral 2x^21+x^2,dx
Reescrevendo o integrando:
2x^21+x^2 = 2 - 21+x^2
Logo
integral 2x^21+x^2,dx = integral 2,dx ;-; 2integral 11+x^2,dx = 2x ;-; 2arctan(x)

Passo 5

Voltando à expressão original, temos
integral lnl(1+x^2r),dx = x,lnl(1+x^2r) - l[,2x - 2arctan(x)r] + C = x,lnl(1+x^2r) - 2x + 2arctan(x) + C

Resposta

boxedintegral lnl(1+x^2r),dx = x,lnl(1+x^2r) - 2x + 2arctan(x) + C

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