1. Dada a função f(x)=x^3+7 x^2+12 xx^2+2 x-3,
    (a) analise a continuidade de f em R;
    (b) calcule os limites laterais em torno dos pontos de descontinuidade para verificar se a curva possui, ou não, assíntotas verticais. Em caso afirmativo, escreva as equações das assíntotas.

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=x^3+7x^2+12xx^2+2x-3: (a) analisar a continuidade em R e (b) calcular limites laterais nos pontos de descontinuidade para verificar assíntotas verticais. O conteúdo envolve domínio de funções racionais, fatoração de polinômios e cálculo de limites laterais.

Passo 2

Encontramos o domínio resolvendo x^2+2x-3=0. As raízes são x=-3 e x=1, logo o domínio é Rsetminus-3,1. Fora desses pontos, função racional é contínua.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
x^3+7x^2+12x = x(x+3)(x+4),
x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)
Assim para xneq -3 podemos simplificar
f(x)=x(x+3)(x+4)(x+3)(x-1) = x(x+4)x-1

Passo 4

Em x=-3 o fator (x+3) cancela, gerando uma descontinuidade removível (buraco). Em x=1 o denominador é zero mas o numerador não, indicando possível assíntota vertical.

Passo 5

Calculamos o limite em x=-3 usando a forma simplificada:
limxto -3f(x) = limxto -3x(x+4)x-1 = (-3)((-3)+4)(-3)-1 = -3cdot1-4 = tfrac34
Como o limite existe finito, há apenas descontinuidade removível em x=-3, sem assíntota.

Passo 6

Para xto1 usamos x(x+4)x-1. Observamos que o numerador tende a 1cdot5=5 e o denominador a zero, mudando de sinal conforme o lado:
limxto1^-f(x)=limxto1^-5x-1=-infty,
limxto1^+f(x)=limxto1^+5x-1=+infty
Isso confirma assíntota vertical em x=1.
A equação da assíntota vertical é
x=1

Resposta

(a) A função é contínua em Rsetminus-3,1; em x=-3 há descontinuidade removível e em x=1 descontinuidade infinita.
(b) limxto -3f(x)=tfrac34 (buraco, sem assíntota);
limxto1^-f(x)=-infty, limxto1^+f(x)=+infty, logo existe assíntota vertical x=1.

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