- Dada a função
,
(a) analise a continuidade de
em
;
(b) calcule os limites laterais em torno dos pontos de descontinuidade para verificar se a curva possui, ou não, assíntotas verticais. Em caso afirmativo, escreva as equações das assíntotas.
(a) analise a continuidade de
(b) calcule os limites laterais em torno dos pontos de descontinuidade para verificar se a curva possui, ou não, assíntotas verticais. Em caso afirmativo, escreva as equações das assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede para a função
: (a) analisar a continuidade em
e (b) calcular limites laterais nos pontos de descontinuidade para verificar assíntotas verticais. O conteúdo envolve domínio de funções racionais, fatoração de polinômios e cálculo de limites laterais.
Passo 2
Encontramos o domínio resolvendo
. As raízes são
e
, logo o domínio é
. Fora desses pontos, função racional é contínua.
Passo 3
Fatoramos numerador e denominador:
Assim para
podemos simplificar
Passo 4
Em
o fator
cancela, gerando uma descontinuidade removível (buraco). Em
o denominador é zero mas o numerador não, indicando possível assíntota vertical.
Passo 5
Calculamos o limite em
usando a forma simplificada:
Como o limite existe finito, há apenas descontinuidade removível em
, sem assíntota.
Passo 6
Para
usamos
. Observamos que o numerador tende a
e o denominador a zero, mudando de sinal conforme o lado:
Isso confirma assíntota vertical em
.
A equação da assíntota vertical é
A equação da assíntota vertical é
Resposta
(a) A função é contínua em
; em
há descontinuidade removível e em
descontinuidade infinita.
(b) (buraco, sem assíntota);
,
, logo existe assíntota vertical
.
(b)