Seja A=x in R ; x in[0,1] cap Q. Encontre, justificando sua resposta:
(a) o conjunto dos pontos de acumulação de A;
(b) a fronteira de A;
(c) o conjunto dos pontos interiores a A.

Passo 1

O enunciado define
A = [0,1]cap Q
O conteúdo aqui é topologia em R: precisamos encontrar o conjunto de pontos de acumulação de A, a fronteira de A e o interior de A.

Passo 2

Um ponto xinR é de acumulação de A se toda vizinhança open (x-varepsilon,x+varepsilon) contém algum ponto de A distinto de x.
Para xin[0,1], como os racionais são densos em R, em qualquer intervalo aberto centrado em x há infinitos racionais distintos de x que ainda estão em [0,1]. Logo todo xin[0,1] é ponto de acumulação de A.
Para xnotin[0,1], temos dist(x,[0,1])=d>0. Basta escolher varepsilon<d para que (x-varepsilon,x+varepsilon) fique totalmente fora de [0,1] (e, portanto, de A). Logo tais x não são pontos de acumulação.
Conclusão: o conjunto de pontos de acumulação de A é [0,1].

Passo 3

O fecho (ou aderência) de A é
overline A = ,xmidtoda vizinhança de x intercepta A ç
Pelos mesmos argumentos do passo anterior, todo ponto de [0,1] e somente eles tem essa propriedade. Logo
overline A = [0,1]

Passo 4

O interior de A consiste dos pontos x que admitem varepsilon>0 tal que
(x-varepsilon,x+varepsilon)subset A
Mas A só tem racionais, e toda vizinhança em R contém irracionais, que não pertencem a A. Portanto não existe nenhum x que satisfaça essa inclusão, e
int(A)=emptyset

Passo 5

A fronteira de A é dada por
partial A = overline A setminus int(A)
Como overline A=[0,1] e int(A)=emptyset, vem
partial A = [0,1]

Resposta

(a) O conjunto de pontos de acumulação de A é [0,1].
(b) A fronteira de A é [0,1].
(c) O interior de A é emptyset.

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