Seja . Encontre, justificando sua resposta:
(a) o conjunto dos pontos de acumulação de ;
(b) a fronteira de ;
(c) o conjunto dos pontos interiores a .
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo aqui é topologia em : precisamos encontrar o conjunto de pontos de acumulação de , a fronteira de e o interior de .
Passo 2
Um ponto é de acumulação de se toda vizinhança open contém algum ponto de distinto de .
Para , como os racionais são densos em , em qualquer intervalo aberto centrado em há infinitos racionais distintos de que ainda estão em . Logo todo é ponto de acumulação de .
Para , temos . Basta escolher para que fique totalmente fora de (e, portanto, de ). Logo tais não são pontos de acumulação.
Conclusão: o conjunto de pontos de acumulação de é .
Passo 3
O fecho (ou aderência) de é
Pelos mesmos argumentos do passo anterior, todo ponto de [0,1] e somente eles tem essa propriedade. Logo
overline A = [0,1]
Passo 4
O interior de A consiste dos pontos x que admitem varepsilon>0 tal que
(x-varepsilon,x+varepsilon)subset A
Mas A só tem racionais, e toda vizinhança em R contém irracionais, que não pertencem a A. Portanto não existe nenhum x que satisfaça essa inclusão, e
int(A)=emptyset
Passo 5
A fronteira de A é dada por
partial A = overline A setminus int(A)
Como overline A=[0,1] e int(A)=emptyset, vem
partial A = [0,1]
Resposta
(a) O conjunto de pontos de acumulação de A é [0,1].
(b) A fronteira de A é [0,1].
(c) O interior de A é emptyset.