Exercício 15. Use a generalização do (PCP) para mostrar que num grupo de 85 pessoas, a primeira letra dos nomes de pelo menos quatro pessoas é a mesma.

Passo 1

O enunciado nos dá um grupo de 85 pessoas e nos pede para mostrar que existe pelo menos uma letra inicial que aparece em pelo menos 4 nomes. O conteúdo envolve o Princípio Generalizado da Casa dos Pombos (PCP).

Passo 2

O Princípio Generalizado da Casa dos Pombos afirma que, ao distribuir n objetos em k caixas, alguma caixa conterá pelo menos
\left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil
objetos.

Passo 3

Aqui temos n=85 pessoas (objetos) e k=26 letras do alfabeto (caixas). Calculamos
\frac{85}{26}\approx3{,}269
Logo,
\left\lceil \frac{85}{26} \right\rceil =4.

Passo 4

Pelo PCP generalizado, existe pelo menos uma caixa (uma letra inicial) que contém ao menos 4 objetos (nomes).

Resposta

Em um grupo de 85 pessoas, a primeira letra dos nomes de, pelo menos, 4 pessoas é a mesma.

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