Exercício 17 Um investimento de R \ 1.000,00$ rende 8% ao ano. Calcule:
a) O montante após 5 anos
b) O tempo para dobrar o capital

Passo 1

O enunciado diz que temos um capital inicial de R\$1.000,00 que rende 8\% ao ano em regime de juros compostos. Precisamos calcular:
a) o montante após 5 anos
b) o tempo necessário para dobrar o capital
O conteúdo principal aqui é juros compostos, cujo montante é dado pela fórmula
M = C\,(1+i)^{n},
onde C é o capital inicial, i a taxa por período e n o número de períodos.

Passo 2

Para a parte (a), aplicamos diretamente a fórmula do montante com C = R\$1.000,00, i = 0,08 e n = 5:
M = 1.000,00 \times (1 + 0,08)^{5}.

Passo 3

Vamos calcular (1 + 0,08)^{5} e depois multiplicar por 1.000,00:
(1,08)^{5} \approx 1,08^{2}\times1,08^{2}\times1,08 =1,1664\times1,1664\times1,08 \approx1,4693
Logo,
M \approx 1.000,00 \times 1,4693 = R\$1.469,33.

Passo 4

Para a parte (b), queremos achar n tal que o montante seja o dobro do capital inicial, ou seja
2C = C\,(1+i)^{n} \quad\Longrightarrow\quad 2 = (1,08)^{n}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
\ln 2 = n \,\ln(1,08) \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{\ln 2}{\ln(1,08)}.

Passo 5

Agora fazemos o cálculo numérico:
\ln 2 \approx 0,6931, \quad \ln(1,08)\approx0,07696,
então
n \approx \frac{0,6931}{0,07696} \approx 9,01\\ \text{anos}.

Resposta

a) R\$1.469,33
b) 9,01 anos

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