Exercício 17 (E.M.4.5)
Seja ( M, d ) um espaço métrico. Sejam X, Y subset M conjuntos conexos. Se partial X subset Y, então X cup Y é conexo.

Passo 1

O enunciado trabalha com um espaço métrico (M,d) e dois subconjuntos conexos X,Ysubset M. Pede para mostrar que, se a fronteira de X em M, denotada por partial X, está contida em Y, então Xcup Y é um conjunto conexo. Para isso, vamos usar diretamente a definição de conjunto conexo via impossibilidade de separação em dois abertos disjuntos e não vazios no subespaço Xcup Y.

Passo 2

Suponha, por contradição, que Xcup Y seja desconexo. Então existem dois conjuntos U e V, abertos em Xcup Y, tais que
Xcup Y ;=; U;dotcup;V,
com Uneqvarnothing, Vneqvarnothing e Ucap V=varnothing. Como X é conexo, ele não pode ficar “espalhado” em U e V; logo, ou Xsubset U ou Xsubset V. Sem perda de generalidade, suponha
X subset U

Passo 3

Vamos mostrar que toda fronteira de X também fica em U. Se existisse um ponto pin partial Xcap V, então, como V é aberto em Xcup Y, haveria um aberto Osubset M com
pin O e Ocap (Xcup Y)=V
Mas então Ocap X seria vazio (pois Vcap X=varnothing), o que contradiz o fato de pinpartial X — pois todo aberto que contém p deve intersectar X. Logo
partial Xcap V = varnothing Longrightarrow partial X subset U

Passo 4

Da inclusão partial Xsubset U e de Xsubset U segue que a fechadura de X em M,
overline X ;=; Xcuppartial X,
está contida em U:
overline X subset U

Passo 5

Agora, como partial Xsubset Y, temos partial Xsubset Ycap U, ou seja, Ycap Uneqvarnothing. E Y é conexo, logo deve ficar inteiramente em U ou inteiramente em V. Mas não pode ficar em V (pois então partial Xsubset V, contradizendo o passo anterior), de modo que
Y subset U

Passo 6

Como Xsubset U e Ysubset U, concluímos que
Xcup Y subset U,
o que força V=varnothing. Isso contradiz a hipótese de que V era não vazio. Portanto não há separação de Xcup Y em dois abertos disjuntos não vazios.

Resposta

Xcup Y é conexo.

Exercícios relacionados