Exercício 17 (E.M.4.5)
Seja ( ) um espaço métrico. Sejam conjuntos conexos. Se , então é conexo.
Passo 1
O enunciado trabalha com um espaço métrico e dois subconjuntos conexos . Pede para mostrar que, se a fronteira de em , denotada por , está contida em , então é um conjunto conexo. Para isso, vamos usar diretamente a definição de conjunto conexo via impossibilidade de separação em dois abertos disjuntos e não vazios no subespaço .
Passo 2
Suponha, por contradição, que seja desconexo. Então existem dois conjuntos e , abertos em , tais que
com , e . Como é conexo, ele não pode ficar “espalhado” em e ; logo, ou ou . Sem perda de generalidade, suponha
Passo 3
Vamos mostrar que toda fronteira de também fica em . Se existisse um ponto , então, como é aberto em , haveria um aberto com
Mas então seria vazio (pois ), o que contradiz o fato de — pois todo aberto que contém deve intersectar . Logo
Passo 4
Da inclusão e de segue que a fechadura de em ,
está contida em U:
overline X subset U
Passo 5
Agora, como partial Xsubset Y, temos partial Xsubset Ycap U, ou seja, Ycap Uneqvarnothing. E Y é conexo, logo deve ficar inteiramente em U ou inteiramente em V. Mas não pode ficar em V (pois então partial Xsubset V, contradizendo o passo anterior), de modo que
Y subset U
Passo 6
Como Xsubset U e Ysubset U, concluímos que
Xcup Y subset U,
o que força V=varnothing. Isso contradiz a hipótese de que V era não vazio. Portanto não há separação de Xcup Y em dois abertos disjuntos não vazios.