Exercício 20. Para a função de distribuição F da v.a. X dada a seguir, obtenha a função de probabilidade de X.
lc 0, & x<0 1 / 2, & 0 <= x <= 1 3 / 5, & 1 <= x<2 4 / 5, & 2 <= x<3 9 / 10, & 3 <= x<3.5 1, & x>3.5

Passo 1

O enunciado nos dá a função de distribuição cumulativa FX(x) de uma v.a.\ discreta X e pede a sua função de probabilidade (pmf) pX(x)=P(X=x). Vamos usar o fato de que, para variável discreta, cada salto de FX em x corresponde a P(X=x).

Passo 2

Lembrando a definição, para todo ponto x temos
pX(x)=P(X=x)=FX(x)-limtto x^-FX(t)
Logo, precisamos identificar os pontos em que FX “sobe”, ou seja, onde há descontinuidade.

Passo 3

Observando o gráfico em degraus de FX(x), vemos saltos exatamente em
x=0,;1,;2,;3,;3,5
Fora desses pontos FX é constante, indicando probabilidade zero em outros valores.

Passo 4

Calculamos os saltos em cada ponto:
FX(0^-)=0, FX(0)=tfrac12 Longrightarrow pX(0)=tfrac12-0=tfrac12
FX(1^-)=tfrac12, FX(1)=tfrac35 Longrightarrow pX(1)=tfrac35-tfrac12=tfrac110

Passo 5

Continuando:
FX(2^-)=tfrac35, FX(2)=tfrac45 Longrightarrow pX(2)=tfrac45-tfrac35=tfrac15
FX(3^-)=tfrac45, FX(3)=tfrac910 Longrightarrow pX(3)=tfrac910-tfrac45=tfrac110
FX(3,5^-)=tfrac910, FX(3,5)=1 Longrightarrow pX(3,5)=1-tfrac910=tfrac110

Resposta

pX(x)= 12, & x=0 110, & x=1 15, & x=2 110, & x=3 110, & x=3,5 0, & caso contrário á

Exercícios relacionados