• Exercício 3.17. A parede de um forno é constituída de uma camada de 30 cm de um refratário cuja condutividade térmica é uma função da temperatura ( \mathbf{k}=0,15+0,0001 \mathrm{~T} ). A temperatura na face interna do refratário é 1050^{\circ} \mathrm{C} e na face externa é 250^{\circ} \mathrm{C}. Calcular o fluxo de calor através da parede.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de calor (fluxo por unidade de área) através da parede do forno. Os dados fornecidos são:
  • Espessura da camada: L=0{,}30\\ \text{m}.
  • Condutividade térmica dependente da temperatura: k(T)=0{,}15+0{,}0001\,T. (Unidades implícitas: \mathrm{W/(m\cdot K)} se T estiver em ^\circ\mathrm{C} ou K.)
  • Temperatura na face interna: T_{1}=1050^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura na face externa: T_{2}=250^\circ\mathrm{C}.
    O que se pede: calcular o fluxo de calor através da parede, isto é, o valor de q'' em \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 2

Conceito e fórmula a usar (explicado devagar): em regime estacionário unidimensional e sem geração interna de calor, a lei de Fourier diz que o fluxo de calor por área é
q''(x) = -k(T)\,\frac{dT}{dx}.
Aqui:
  • q'' é o fluxo de calor por unidade de área ( \mathrm{W/m^{2}});
  • k(T) é a condutividade térmica, função de T ( \mathrm{W/(m\cdot K)});
  • T(x) é a temperatura ao longo da espessura e x é a coordenada espacial (m).
    Em regime estacionário, q'' é independente de x (a mesma taxa de calor atravessa qualquer seção da parede), então q'' é uma constante.

Passo 3

Transformação útil para integrar: reescrevendo a equação e separando variáveis,
\frac{dT}{dx} = -\frac{q''}{k(T)}.
Invertendo e integrando ao longo da parede, tomando x=0 na face interna (onde T=T_{1}) e x=L na face externa (onde T=T_{2}):
\int_{0}^{L} dx = -\;q''^{-1}\int_{T_{1}}^{T_{2}} k(T)\,dT.
Como o lado esquerdo é simplesmente L, isolamos q'':
q'' = \frac{1}{L}\int_{T_{2}}^{T_{1}} k(T)\,dT.
(Usei a troca de limites para tirar o sinal negativo: -\int_{T_{1}}^{T_{2}}=\int_{T_{2}}^{T_{1}}.)

Passo 4

Substituir k(T)=0{,}15+0{,}0001\,T na integral. Então
\int_{T_{2}}^{T_{1}} k(T)\,dT=\int_{250}^{1050}\!\left(0{,}15+0{,}0001\,T\right)dT.
Calcule a integral termo a termo:
\int_{250}^{1050}0{,}15\,dT = 0{,}15\,(1050-250)=0{,}15\cdot800=120,
\int_{250}^{1050}0{,}0001\,T\,dT = 0{,}0001\cdot\frac{T^{2}}{2}\Big|_{250}^{1050} =0{,}00005\,(1050^{2}-250^{2}).
Calcule os quadrados:
1050^{2}=1\,102\,500,\qquad 250^{2}=62\,500,
1050^{2}-250^{2}=1\,040\,000.
Portanto
\int_{250}^{1050}0{,}0001\,T\,dT = 0{,}00005\cdot1\,040\,000 = 52.
Somando os dois termos:
\int_{250}^{1050}\!\left(0{,}15+0{,}0001\,T\right)dT = 120+52=172.

Passo 5

Voltar à expressão para q'':
q''=\frac{1}{L}\int_{T_{2}}^{T_{1}} k(T)\,dT = \frac{172}{0{,}30}.
Calcule:
q''=573{,}333\ldots\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
q''\approx 573{,}33\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Interpretação física rápida: o fluxo é positivo no sentido de T_{1} para T_{2}, ou seja, o calor vai da face interna mais quente ( 1050^\circ\mathrm{C}) para a face externa mais fria ( 250^\circ\mathrm{C}).

Resposta

q''=573{,}33\\ \mathrm{W/m^{2}}

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