Exercício 3.17. A parede de um forno é constituída de uma camada de 30 cm de um refratário cuja condutividade térmica é uma função da temperatura ( \mathbf{k}=0,15+0,0001 \mathrm{~T} ). A temperatura na face interna do refratário é 1050^{\circ} \mathrm{C} e na face externa é 250^{\circ} \mathrm{C}. Calcular o fluxo de calor através da parede.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo de calor (fluxo por unidade de área) através da parede do forno. Os dados fornecidos são:
Espessura da camada: L=0{,}30\\ \text{m}.
Condutividade térmica dependente da temperatura: k(T)=0{,}15+0{,}0001\,T. (Unidades implícitas: \mathrm{W/(m\cdot K)} se T estiver em ^\circ\mathrm{C} ou K.)
Temperatura na face interna: T_{1}=1050^\circ\mathrm{C}.
Temperatura na face externa: T_{2}=250^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: calcular o fluxo de calor através da parede, isto é, o valor de q'' em \mathrm{W/m^{2}}.
Passo 2
Conceito e fórmula a usar (explicado devagar): em regime estacionário unidimensional e sem geração interna de calor, a lei de Fourier diz que o fluxo de calor por área é
q''(x) = -k(T)\,\frac{dT}{dx}.
Aqui:
q'' é o fluxo de calor por unidade de área (\mathrm{W/m^{2}});
k(T) é a condutividade térmica, função de T (\mathrm{W/(m\cdot K)});
T(x) é a temperatura ao longo da espessura e x é a coordenada espacial (m).
Em regime estacionário, q'' é independente de x (a mesma taxa de calor atravessa qualquer seção da parede), então q'' é uma constante.
Passo 3
Transformação útil para integrar: reescrevendo a equação e separando variáveis,
\frac{dT}{dx} = -\frac{q''}{k(T)}.
Invertendo e integrando ao longo da parede, tomando x=0 na face interna (onde T=T_{1}) e x=L na face externa (onde T=T_{2}):
Interpretação física rápida: o fluxo é positivo no sentido de T_{1} para T_{2}, ou seja, o calor vai da face interna mais quente (1050^\circ\mathrm{C}) para a face externa mais fria (250^\circ\mathrm{C}).