• Exercício 3.15. Um forno de 6 m de comprimento, 5 m de largura e 3 m de altura tem sua parede constituída de 3 camadas. A camada interna de 0,4 \mathrm{~m} é de tijolos refratários ( \mathrm{k}=1,0 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ). A camada intermediária de 0,30 \mathrm{~m} tem a metade inferior de tijolos especiais ( \mathrm{k}=0,20 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ) e a metade superior de tijolos comuns ( \mathrm{k}=0,40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ). A camada externa de 0,05 \mathrm{~m} é de aço ( \mathrm{k}=30 \mathrm{kcal} / \mathrm{hm}^{\circ} \mathrm{C} ). Sabendo-se que a superfície interna está a 1700^{\circ} \mathrm{C} e a superfície externa está a 60^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se : a) o fluxo de calor pela parede
    b) considerando que após, alguns anos o fluxo de calor aumentou 10 \% devido ao desgaste da camada de refratários. Calcular este desgaste supondo que o mesmo foi uniforme em todo o forno.

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Geometria do forno (paralelepípedo):
    • comprimento L=6\\ \mathrm{m}
    • largura W=5\\ \mathrm{m}
    • altura H=3\\ \mathrm{m}
  • Temperaturas:
    • superfície interna T_i=1700\,^\circ\mathrm{C}
    • superfície externa T_o=60\,^\circ\mathrm{C}
    • diferença de temperatura \Delta T=T_i-T_o=1700-60=1640\,^\circ\mathrm{C}
  • Estrutura da parede (em série, na direção da espessura), com espessuras e condutividades térmicas:
    • camada interna: espessura d_1=0,40\\ \mathrm{m}, k_1=1{,}0\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot^\circ C)}
    • camada intermediária total: espessura d_2=0,30\\ \mathrm{m}, porém metade da área usa tijolo especial com k_{2a}=0{,}20 e a outra metade da área usa tijolo comum com k_{2b}=0{,}40.
    • camada externa (aço): espessura d_3=0,05\\ \mathrm{m}, k_3=30\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot^\circ C)}
  • Área total através da qual há perda de calor (todas as faces do paralelepípedo):
    A_{\text{total}} = 2(LW + LH + WH).
    Vou calcular isso em seguida.
O enunciado pede:
(a) o fluxo de calor pela parede (isto é, a perda total de calor do forno), e
(b) se após alguns anos o fluxo aumentou 10\% devido ao desgaste uniforme da camada de refratários, calcular a espessura perdida (o desgaste), supondo que foi uniforme em todo o forno.

Passo 2

Calcular a área total externa A_{\text{total}} do forno.
  • LW = 6\cdot5 = 30\\ \mathrm{m^2}
  • LH = 6\cdot3 = 18\\ \mathrm{m^2}
  • WH = 5\cdot3 = 15\\ \mathrm{m^2}
Logo
A_{\text{total}} = 2(30 + 18 + 15) = 2\cdot63 = 126\\ \mathrm{m^2}.
Como a camada intermediária tem “metade inferior” e “metade superior” com materiais diferentes, isto será tratado como duas áreas iguais em paralelo (cada uma corresponde a metade da área total). Então cada caminho tem área
A_{\text{meia}} = \frac{A_{\text{total}}}{2} = \frac{126}{2} = 63\\ \mathrm{m^2}.
Observação conceitual rápida (importante para a prova): quando a parede tem regiões diferentes lado a lado (ou seja, duas zonas com diferentes propriedades térmicas), essas zonas conduzem calor em paralelo — o fluxo total é soma dos fluxos pelas zonas, cada zona calculada como resistência térmica em série pelas camadas nessa zona.

Passo 3

Defino a resistência térmica de uma camada plana e monto as resistências por caminho (cada “meia-área” é um caminho em série).
Fórmula básica (condução estacionária unidimensional, parede plana):
R_{\text{camada}}=\frac{d}{kA},
onde
  • d é a espessura da camada (m),
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot^\circ C)}),
  • A é a área transversal ao fluxo (m^2),
  • R tem unidade \mathrm{h\cdot^\circ C/kcal}.
Para um conjunto de camadas em série somam-se as resistências:
R_{\text{total, caminho}}=\sum_i \frac{d_i}{k_i A}.
Temos dois caminhos (metade inferior com tijolo especial no meio, metade superior com tijolo comum no meio). Para cada caminho uso A=63\\ \mathrm{m^2}.
Vou calcular as resistências de cada camada por caminho.

Passo 4

Calcular as resistências numéricas dos elementos que são iguais nos dois caminhos (camada interna e camada externa), usando A=63\\ \mathrm{m^2}.
  • resistência da camada interna (refratário):
R_1=\frac{d_1}{k_1 A}=\frac{0,40}{1{,}0\cdot63}=\frac{0,40}{63}=\frac{2}{315}\\ \mathrm{h\cdot^\circ C/kcal}\approx0{,}0063492063.
  • resistência da camada externa (aço):
R_3=\frac{d_3}{k_3 A}=\frac{0,05}{30\cdot63}=\frac{0,05}{1890}=\frac{1}{37800}\\ \mathrm{h\cdot^\circ C/kcal}\approx0{,}0000264550.
Vou manter as frações exatas quando conveniente, mas também darei os valores decimais para facilitar.

Passo 5

Calcular a resistência da camada intermediária para cada meia-área:
  • para a meia-área com tijolo especial ( k_{2a}=0{,}20):
R_{2a}=\frac{d_2}{k_{2a} A}=\frac{0,30}{0{,}20\cdot63}=\frac{0,30}{12{,}6}=\frac{1}{42}\\ \mathrm{h\cdot^\circ C/kcal}\approx0{,}0238095238.
  • para a meia-área com tijolo comum ( k_{2b}=0{,}40):
R_{2b}=\frac{d_2}{k_{2b} A}=\frac{0,30}{0{,}40\cdot63}=\frac{0,30}{25{,}2}=\frac{1}{84}\\ \mathrm{h\cdot^\circ C/kcal}\approx0{,}0119047619.

Passo 6

Somar resistências em série para cada caminho (cada meia-área):
  • caminho “especial” (metade com tijolo especial):
R_{\text{esp}} = R_1 + R_{2a} + R_3 = \frac{2}{315} + \frac{1}{42} + \frac{1}{37800}.
Vou calcular numericamente:
R_{\text{esp}} \approx 0{,}00634920635 + 0{,}02380952381 + 0{,}00002645503 = 0{,}03018518519\\ \mathrm{h\cdot^\circ C/kcal}.
  • caminho “comum” (metade com tijolo comum):
R_{\text{com}} = R_1 + R_{2b} + R_3 = \frac{2}{315} + \frac{1}{84} + \frac{1}{37800}.
Numericamente:
R_{\text{com}} \approx 0{,}00634920635 + 0{,}01190476190 + 0{,}00002645503 = 0{,}01828042328\\ \mathrm{h\cdot^\circ C/kcal}.

Passo 7

Calcular o fluxo de calor por cada caminho (meia-área) usando a lei de Ohm térmica (analogia): para um caminho com resistência R e diferença de temperatura \Delta T,
\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R}.
  • fluxo pela meia-área com tijolo especial:
\dot{Q}_{\text{esp}}=\frac{1640}{R_{\text{esp}}} = \frac{1640}{0{,}03018518519}\\ \mathrm{kcal/h}.
Calculei exatamente com frações anteriormente; numericamente:
\dot{Q}_{\text{esp}}\approx 54\,331{,}29\\ \mathrm{kcal/h}.
  • fluxo pela meia-área com tijolo comum:
\dot{Q}_{\text{com}}=\frac{1640}{R_{\text{com}}} = \frac{1640}{0{,}01828042328}\\ \mathrm{kcal/h}.
Numericamente:
\dot{Q}_{\text{com}}\approx 89\,713{,}45\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 8

Somar os fluxos das duas meias-áreas para obter o fluxo total pela parede do forno (as duas áreas são caminhos em paralelo):
\dot{Q}_{\text{total}} = \dot{Q}_{\text{esp}} + \dot{Q}_{\text{com}} \approx 54\,331{,}29 + 89\,713{,}45 = 144\,044{,}74\\ \mathrm{kcal/h}.
Arredondando com boa precisão significativa:
\dot{Q}_{\text{total}}\approx 1{,}44\times10^{5}\\ \mathrm{kcal/h}.
(Vale comentar: o aço tem uma resistência muito pequena comparada às outras camadas, logo quase não influencia; a maior resistência está na camada intermediária especial/comum e na refratária.)

Passo 9

Agora a parte (b): o fluxo aumentou 10\% devido ao desgaste uniforme da camada de refratários. Ou seja, o novo fluxo é
\dot{Q}'_{\text{total}} = 1{,}10\,\dot{Q}_{\text{total}}.
Suponho desgaste uniforme de toda a camada interna: a nova espessura do refratário será d_1' = d_1 - \delta, onde \delta é o desgaste (m) que devo encontrar.
Estratégia: escrever a expressão do fluxo total em função de d_1 (ou melhor de t=600d, como farei), igualar ao valor 1,10 vezes o fluxo inicial e resolver para d_1'. Vou montar a equação e resolver (dá uma equação quadrática simples).

Passo 10

Montar expressão analítica do somatório dos reciprocais que aparece no fluxo:
Para qualquer d da camada refratária (em metros), a resistência comum R_1(d)=\dfrac{d}{k_1 A}=\dfrac{d}{63} (já que k_1=1 e A=63). Note que 1/63 pode ser escrito como 600/37800, então é conveniente usar t=600d como variável intermediária.
Recordando que a=R_{2a}+R_3=\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{37800}=\dfrac{901}{37800} e b=R_{2b}+R_3=\dfrac{1}{84}+\dfrac{1}{37800}=\dfrac{451}{37800}, temos, para uma meia-área com área A=63,
\frac{1}{R_{\text{esp}}(d)}=\frac{1}{d/63 + a}=\frac{37800}{600d + 901},
\frac{1}{R_{\text{com}}(d)}=\frac{1}{d/63 + b}=\frac{37800}{600d + 451}.
Assim o somatório das condutâncias (reciprocais de resistência) é
S(d)=\frac{1}{R_{\text{esp}}(d)}+\frac{1}{R_{\text{com}}(d)} =37800\left(\frac{1}{600d+901}+\frac{1}{600d+451}\right).
E o fluxo total é
\dot{Q}(d)=\Delta T\; S(d)=1640\;S(d).
No caso inicial d_1=0{,}40\\ \mathrm{m} já tínhamos \dot{Q}(0{,}40)=144\,044{,}74\\ \mathrm{kcal/h}. Queremos d'=d_1-\delta tal que
\dot{Q}(d') = 1{,}10\,\dot{Q}(0{,}40).
Dividindo por 1640 (ou reorganizando) dá uma equação para S(d'):
S(d') = 1{,}10\,S(0{,}40).

Passo 11

Resolver a equação para d'. Usarei a forma algébrica direta: defina
C = \frac{1{,}10\,S(0{,}40)}{37800}.
A condição S(d') = 1{,}10\,S(0{,}40) equivale a
\frac{1}{600d'+901}+\frac{1}{600d'+451} = C.
Somando as frações do lado esquerdo:
\frac{2(600d') + 1352}{(600d'+901)(600d'+451)} = C.
Multiplicando ambos os lados e rearranjando obtemos uma equação quadrática em t=600d':
C\,t^2 + t\big(C\cdot1352 - 2\big) + \big(C\cdot(901\cdot451) - 1352\big)=0.
Agora calculo numericamente C e os coeficientes e aplico a fórmula de Bhaskara.

Passo 12

Cálculos numéricos para resolver a quadrática.
  • Primeiro S(0{,}40) já calculado (dividindo \dot{Q} por \Delta T):
S(0{,}40)=\frac{\dot{Q}(0{,}40)}{1640}\approx\frac{144\,044{,}74}{1640}\approx87{,}8379499.
  • Assim
S' \equiv 1{,}10\,S(0{,}40)\approx96{,}6217449.
  • Então
C=\frac{S'}{37800}\approx\frac{96{,}6217449}{37800}\approx0{,}00255699855.
  • Valores auxiliares:
    • 1352=901+451
    • 901\cdot451=406\,351.
A quadrática em t (com t=600d') é
C t^2 + \big(C\cdot1352 - 2\big)t + \big(C\cdot406351 - 1352\big)=0.
Substituindo números:
0{,}00255699855\,t^2 + 1{,}4570620396\,t -312{,}961082209 \approx 0.
Aplicando a fórmula quadrática:
t=\frac{-B+\sqrt{B^2-4AC}}{2A}
(como a raiz positiva corresponde ao caso físico t>0). Calculando numericamente (faço a conta com precisão adequada) obtém-se
t\approx 166{,}66\\ \text{(aprox.)}
e como t=600d',
d'=\frac{t}{600}\approx \frac{166{,}66}{600}\approx0{,}2778\\ \mathrm{m}.

Passo 13

Calcular o desgaste \delta e apresentar o resultado em unidades amigáveis:
\delta = d_1 - d' = 0{,}40 - 0{,}2778 \approx 0{,}1222\\ \mathrm{m}.
Em centímetros:
\delta \approx 12{,}2\\ \mathrm{cm}.
(Arredondei a espessura final e o desgaste com três algarismos significativos.)

Resposta

(a) \dot{Q}_{\text{total}}\approx 1{,}44\times10^{5}\\ \mathrm{kcal/h}
(b) desgaste uniforme \displaystyle \delta\approx 0{,}122\\ \mathrm{m}\\ (\approx 12{,}2\\ \mathrm{cm})

Exercícios relacionados