- Exercício 3.15. Um forno de 6 m de comprimento, 5 m de largura e 3 m de altura tem sua parede constituída de 3 camadas. A camada interna de
é de tijolos refratários (
). A camada intermediária de
tem a metade inferior de tijolos especiais (
) e a metade superior de tijolos comuns (
). A camada externa de
é de aço (
). Sabendo-se que a superfície interna está a
e a superfície externa está a
. Pede-se : a) o fluxo de calor pela parede
b) considerando que após, alguns anos o fluxo de calor aumentou
devido ao desgaste da camada de refratários. Calcular este desgaste supondo que o mesmo foi uniforme em todo o forno.
b) considerando que após, alguns anos o fluxo de calor aumentou
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Geometria do forno (paralelepípedo):
- comprimento
- largura
- altura
- comprimento
-
Temperaturas:
- superfície interna
- superfície externa
- diferença de temperatura
- superfície interna
-
Estrutura da parede (em série, na direção da espessura), com espessuras e condutividades térmicas:
- camada interna: espessura
, - camada intermediária total: espessura
, porém metade da área usa tijolo especial com e a outra metade da área usa tijolo comum com . - camada externa (aço): espessura
,
- camada interna: espessura
-
Área total através da qual há perda de calor (todas as faces do paralelepípedo):Vou calcular isso em seguida.
O enunciado pede:
(a) o fluxo de calor pela parede (isto é, a perda total de calor do forno), e
(b) se após alguns anos o fluxo aumentou devido ao desgaste uniforme da camada de refratários, calcular a espessura perdida (o desgaste), supondo que foi uniforme em todo o forno.
(a) o fluxo de calor pela parede (isto é, a perda total de calor do forno), e
(b) se após alguns anos o fluxo aumentou
Passo 2
Calcular a área total externa
do forno.
Logo
Como a camada intermediária tem “metade inferior” e “metade superior” com materiais diferentes, isto será tratado como duas áreas iguais em paralelo (cada uma corresponde a metade da área total). Então cada caminho tem área
Observação conceitual rápida (importante para a prova): quando a parede tem regiões diferentes lado a lado (ou seja, duas zonas com diferentes propriedades térmicas), essas zonas conduzem calor em paralelo — o fluxo total é soma dos fluxos pelas zonas, cada zona calculada como resistência térmica em série pelas camadas nessa zona.
Passo 3
Defino a resistência térmica de uma camada plana e monto as resistências por caminho (cada “meia-área” é um caminho em série).
Fórmula básica (condução estacionária unidimensional, parede plana):
onde
-
é a espessura da camada (m), -
é a condutividade térmica ( ), -
é a área transversal ao fluxo (m^2), -
tem unidade .
Para um conjunto de camadas em série somam-se as resistências:
Temos dois caminhos (metade inferior com tijolo especial no meio, metade superior com tijolo comum no meio). Para cada caminho uso
.
Vou calcular as resistências de cada camada por caminho.
Passo 4
Calcular as resistências numéricas dos elementos que são iguais nos dois caminhos (camada interna e camada externa), usando
.
- resistência da camada interna (refratário):
- resistência da camada externa (aço):
Vou manter as frações exatas quando conveniente, mas também darei os valores decimais para facilitar.
Passo 5
Calcular a resistência da camada intermediária para cada meia-área:
- para a meia-área com tijolo especial (
):
- para a meia-área com tijolo comum (
):
Passo 6
Somar resistências em série para cada caminho (cada meia-área):
- caminho “especial” (metade com tijolo especial):
Vou calcular numericamente:
- caminho “comum” (metade com tijolo comum):
Numericamente:
Passo 7
Calcular o fluxo de calor por cada caminho (meia-área) usando a lei de Ohm térmica (analogia): para um caminho com resistência
e diferença de temperatura
,
- fluxo pela meia-área com tijolo especial:
Calculei exatamente com frações anteriormente; numericamente:
- fluxo pela meia-área com tijolo comum:
Numericamente:
Passo 8
Somar os fluxos das duas meias-áreas para obter o fluxo total pela parede do forno (as duas áreas são caminhos em paralelo):
Arredondando com boa precisão significativa:
(Vale comentar: o aço tem uma resistência muito pequena comparada às outras camadas, logo quase não influencia; a maior resistência está na camada intermediária especial/comum e na refratária.)
Passo 9
Agora a parte (b): o fluxo aumentou
devido ao desgaste uniforme da camada de refratários. Ou seja, o novo fluxo é
Suponho desgaste uniforme de toda a camada interna: a nova espessura do refratário será
, onde
é o desgaste (m) que devo encontrar.
Estratégia: escrever a expressão do fluxo total em função de
(ou melhor de
, como farei), igualar ao valor 1,10 vezes o fluxo inicial e resolver para
. Vou montar a equação e resolver (dá uma equação quadrática simples).
Passo 10
Montar expressão analítica do somatório dos reciprocais que aparece no fluxo:
Para qualquer
da camada refratária (em metros), a resistência comum
(já que
e
). Note que
pode ser escrito como
, então é conveniente usar
como variável intermediária.
Recordando que
e
, temos, para uma meia-área com área
,
Assim o somatório das condutâncias (reciprocais de resistência) é
E o fluxo total é
No caso inicial
já tínhamos
. Queremos
tal que
Dividindo por
(ou reorganizando) dá uma equação para
:
Passo 11
Resolver a equação para
. Usarei a forma algébrica direta: defina
A condição
equivale a
Somando as frações do lado esquerdo:
Multiplicando ambos os lados e rearranjando obtemos uma equação quadrática em
:
Agora calculo numericamente
e os coeficientes e aplico a fórmula de Bhaskara.
Passo 12
Cálculos numéricos para resolver a quadrática.
- Primeiro
já calculado (dividindo por ):
- Assim
- Então
- Valores auxiliares:
-
-
.
-
A quadrática em
(com
) é
Substituindo números:
Aplicando a fórmula quadrática:
(como a raiz positiva corresponde ao caso físico
). Calculando numericamente (faço a conta com precisão adequada) obtém-se
e como
,
Passo 13
Calcular o desgaste
e apresentar o resultado em unidades amigáveis:
Em centímetros:
(Arredondei a espessura final e o desgaste com três algarismos significativos.)
Resposta
(a)
(b) desgaste uniforme