• Exercício 3.16. Duas substancias são misturadas, reagindo entre si e liberando calor dentro de um tubo de diâmetro interno 7,62 \mathrm{~cm} e espessura igual a 0,5 \mathrm{~cm} ( \mathrm{k}=32 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ). O comprimento do tubo é 10 m . Todo o calor gerado na reação é cedido ao ambiente, de modo que a temperatura da mistura, 180^{\circ} \mathrm{C}, permanece constante. Por motivo de segurança, será necessário isolar a tubulação, de modo que a temperatura na face externa do isolante ( \mathrm{k}=0,06 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ) não ultrapasse 50^{\circ} \mathrm{C}. O ar externo está a 25^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 12 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} 2 .{ }^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de película da mistura é 90 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} 2 .^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se a espessura mínima necessária do isolante, para atender a condição desejada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido.
Dados (peguei todos estes números do enunciado):
  • Diâmetro interno do tubo: D_i=0,0762\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do tubo (parede metálica): t_{\rm tubo}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do material do tubo: k_{\rm tubo}=32\\ \mathrm{kcal}\,/(\mathrm{h\cdot m\cdot{}^\circ C}).
  • Comprimento do trecho (não influencia a espessura mínima por unidade de comprimento, usaremos resistência por unidade de comprimento): L=10\\ \mathrm{m} (apenas informação adicional).
  • Temperatura da mistura (fluido interno): T_i=180{ }^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película interno (fluido \to parede interna): h_i=90\\ \mathrm{kcal}\,/(\mathrm{h\cdot m^2\cdot{}^\circ C}).
  • Condutividade do isolante: k_{\rm ins}=0,06\\ \mathrm{kcal}\,/(\mathrm{h\cdot m\cdot{}^\circ C}).
  • Coeficiente de película externo (isolante \to ar): h_o=12\\ \mathrm{kcal}\,/(\mathrm{h\cdot m^2\cdot{}^\circ C}).
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=25{ }^\circ\mathrm{C}.
  • Condição de projeto: a temperatura na face externa do isolante não deve ultrapassar T_s^{\max}=50{ }^\circ\mathrm{C}.
O que é pedido:
  • Determinar a espessura mínima do isolante t_{\rm ins} (em metros ou cm) tal que a temperatura na face externa do isolante seja \le 50{ }^\circ\mathrm{C}, dado que a mistura interna está a 180{ }^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Modelo térmico e definição das variáveis geométricas.
  • Raio interno do tubo: r_i=\frac{D_i}{2}=\frac{0,0762}{2}=0,03810\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do tubo (inclui a espessura do metal): r_o = r_i + t_{\rm tubo} = 0,03810+0,005=0,04310\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do sistema (metal + isolante): r_2 = r_o + t_{\rm ins}.A espessura do isolante que queremos é t_{\rm ins}=r_2-r_o.
Explicação do modelo (passo-a-passo didático):
  • O calor flui radialmente do fluido interno (temperatura T_i) até o ar externo (temperatura T_\infty). No caminho há quatro “resistências térmicas” em série por unidade de comprimento:
    1. resistência de convecção interna entre fluido e parede interna;
    2. resistência de condução através da parede metálica do tubo (cilíndrica);
    3. resistência de condução através do isolante (cilíndrica);
    4. resistência de convecção externa entre a face externa do isolante e o ar.
  • Para cilindros, a resistência de condução por unidade de comprimento entre raios r_a e r_b é R_{\rm cond}'=\frac{\ln(r_b/r_a)}{2\pi k},onde k é a condutividade térmica do material e o apóstrofo indica resistência por unidade de comprimento (por metro de tubo). A convecção por unidade de comprimento sobre um cilindro de diâmetro D tem resistência R_{\rm conv}'=\frac{1}{h\cdot \pi D}=\frac{1}{h\cdot 2\pi r}.
  • Então as resistências por unidade de comprimento são: R_i'=\frac{1}{h_i\pi D_i}=\frac{1}{h_i\cdot 2\pi r_i},
R_{\rm tubo}'=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k_{\rm tubo}},
R_{\rm ins}'=\frac{\ln(r_2/r_o)}{2\pi k_{\rm ins}},
R_o'=\frac{1}{h_o\pi D_2}=\frac{1}{h_o\cdot 2\pi r_2},
onde D_2=2r_2 é o diâmetro externo com isolante.

Passo 3

Equação do balanço térmico e relação que liga r_2 à temperatura externa permitida.
  • A resistência térmica total por unidade de comprimento é R_{\rm tot}'=R_i'+R_{\rm tubo}'+R_{\rm ins}'+R_o'.
  • A vazão de calor por unidade de comprimento, em regime estacionário, é q'=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\rm tot}'}.
  • A temperatura na face externa do isolante (a qual chamamos T_s) é a temperatura do fluido ambiente acrescida da queda de temperatura através da resistência de convecção externa: T_s = T_\infty + q'\,R_o'.
  • Substituindo q' obtemos T_s = T_\infty + (T_i-T_\infty)\frac{R_o'}{R_{\rm tot}'}.
  • A condição de projeto é T_s = T_s^{\max}=50{ }^\circ\mathrm{C}. Portanto \frac{T_s^{\max}-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\frac{R_o'}{R_{\rm tot}'}e, isolando as resistências sem R_o', R_i'+R_{\rm tubo}'+R_{\rm ins}' = \left(\frac{T_i-T_\infty}{T_s^{\max}-T_\infty}-1\right)R_o'.Esta forma é conveniente porque R_{\rm ins}' e R_o' dependem de r_2 e as demais resistências são conhecidas. Vamos trabalhar com essa equação para achar r_2.

Passo 4

Substituição dos valores numéricos e obtenção da equação em r_2.
Primeiro calculo as resistências conhecidas (por unidade de comprimento; unidades implicam horas·metro/kcal, mas trabalhamos numericamente):
  • r_i=0,03810\\ \mathrm{m}, r_o=0,04310\\ \mathrm{m}.
Calcule R_i':
R_i'=\frac{1}{h_i\pi D_i}=\frac{1}{90\cdot\pi\cdot 0,0762} =\frac{1}{90\cdot\pi\cdot 0,0762}\approx 0,04640\\ \left(\mathrm{h\cdot m}/\mathrm{kcal}\right).
Calcule R_{\rm tubo}':
R_{\rm tubo}'=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k_{\rm tubo}} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0,04310}{0,03810}\right)}{2\pi\cdot 32} \approx\frac{0,1237}{201,06}\approx 0,0006155.
Agora escrevemos explicitamente R_{\rm ins}' e R_o' em função de r_2:
R_{\rm ins}'=\frac{\ln(r_2/r_o)}{2\pi k_{\rm ins}} =\frac{\ln(r_2/r_o)}{2\pi\cdot 0,06} =\frac{\ln(r_2/r_o)}{0,37699},
R_o'=\frac{1}{h_o\cdot 2\pi r_2}=\frac{1}{24\pi r_2} =\frac{1}{75,398\,r_2}.
A constante formada pela razão de temperaturas:
\frac{T_i-T_\infty}{T_s^{\max}-T_\infty}=\frac{180-25}{50-25}=\frac{155}{25}=6{,}2.
Portanto a equação do passo anterior fica
R_i'+R_{\rm tubo}'+R_{\rm ins}'=(6{,}2-1)\,R_o' =5{,}2\,R_o'.
Substituindo as expressões:
0,04640+0,0006155+\frac{\ln(r_2/r_o)}{0,37699}=5{,}2\cdot\frac{1}{75{,}398\,r_2}.
Juntando os termos constantes:
\frac{\ln(r_2/r_o)}{0,37699}= \frac{5{,}2}{75{,}398\,r_2} - 0,0470155.
Multiplicando ambos os lados por 0,37699 (número positivo) para simplificar:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_o}\right)=\frac{0,025991}{r_2} - 0,017741,
onde usei 0{,}025991=0{,}37699\times(5{,}2/75{,}398) e 0{,}017741=0{,}37699\times0{,}0470155.
Assim obtivemos uma equação transcendental em r_2:
\ln\!\left(\frac{r_2}{0,04310}\right)=\frac{0{,}025991}{r_2}-0{,}017741.

Passo 5

Resolução numérica da equação transcendental por iteração (busca de raiz) — faço algumas tentativas e mostro os cálculos até convergir.
Defino a função
F(r_2)=\ln\!\left(\frac{r_2}{0,04310}\right)-\left(\frac{0{,}025991}{r_2}-0{,}017741\right).
Queremos F(r_2)=0 com r_2>r_o=0,04310\\ \mathrm{m}.
Tentativas (mostro os cálculos aproximados):
  • r_2=0,06310\\ \mathrm{m} (isolante de 2{,}00\\ \mathrm{cm}): \ln\!\left(\frac{0,06310}{0,04310}\right)=\ln(1,464)=0,3812,
\frac{0{,}025991}{0,06310}-0{,}017741=0,4120-0,017741=0,39426,
F(0,06310)=0,3812-0,39426=-0,01306\\ (\text{negativo}).
  • r_2=0,06600\\ \mathrm{m} (isolante de 2{,}90\\ \mathrm{cm}): \ln\!\left(\frac{0,06600}{0,04310}\right)=\ln(1,531)=0,4251,
\frac{0{,}025991}{0,06600}-0{,}017741=0,3938-0,017741=0,37606,
F(0,06600)=0,4251-0,37606=+0,04904\\ (\text{positivo}).
Entre 0,06310 e 0,06600 a função troca de sinal, logo a raiz está nesse intervalo. Faço mais um passo intermediário:
  • r_2=0,06370\\ \mathrm{m}: \ln\!\left(\frac{0,06370}{0,04310}\right)=\ln(1,47799)=0,39062,
\frac{0{,}025991}{0,06370}-0{,}017741=0,40828-0,017741=0,39054,
F(0,06370)=0,39062-0,39054=0,00008\\ (\text{praticamente zero}).
Convergência: r_2\approx 0,06370\\ \mathrm{m} satisfaz a equação com boa precisão.

Passo 6

Cálculo final da espessura do isolante e interpretação.
  • Raio externo total encontrado: r_2\approx 0,06370\\ \mathrm{m}.
  • Logo a espessura mínima do isolante é t_{\rm ins}=r_2-r_o=0,06370-0,04310=0,02060\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades práticas: t_{\rm ins}\approx 0,0206\\ \mathrm{m}\approx 2{,}06\\ \mathrm{cm}.
(Achei t_{\rm ins} por iteração numérica da equação que garante T_s=50{ }^\circ\mathrm{C}. A parede metálica contribui muito pouco para a resistência térmica; a maior parte do isolamento vem do isolante e da convecção externa.)

Resposta

t_{\rm ins,\\ min}=0,0206\\ \mathrm{m}\approx 2{,}06\\ \mathrm{cm}

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