- Exercício 3.16. Duas substancias são misturadas, reagindo entre si e liberando calor dentro de um tubo de diâmetro interno
e espessura igual a
(
). O comprimento do tubo é 10 m . Todo o calor gerado na reação é cedido ao ambiente, de modo que a temperatura da mistura,
, permanece constante. Por motivo de segurança, será necessário isolar a tubulação, de modo que a temperatura na face externa do isolante (
) não ultrapasse
. O ar externo está a
, com coeficiente de película
. O coeficiente de película da mistura é 90
. Pede-se a espessura mínima necessária do isolante, para atender a condição desejada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido.
Dados (peguei todos estes números do enunciado):
- Diâmetro interno do tubo:
. - Espessura do tubo (parede metálica):
. - Condutividade térmica do material do tubo:
. - Comprimento do trecho (não influencia a espessura mínima por unidade de comprimento, usaremos resistência por unidade de comprimento):
(apenas informação adicional). - Temperatura da mistura (fluido interno):
. - Coeficiente de película interno (fluido
parede interna): . - Condutividade do isolante:
. - Coeficiente de película externo (isolante
ar): . - Temperatura do ar ambiente:
. - Condição de projeto: a temperatura na face externa do isolante não deve ultrapassar
.
O que é pedido:
- Determinar a espessura mínima do isolante
(em metros ou cm) tal que a temperatura na face externa do isolante seja , dado que a mistura interna está a .
Passo 2
Modelo térmico e definição das variáveis geométricas.
- Raio interno do tubo:
- Raio externo do tubo (inclui a espessura do metal):
- Raio externo do sistema (metal + isolante):
A espessura do isolante que queremos é .
Explicação do modelo (passo-a-passo didático):
- O calor flui radialmente do fluido interno (temperatura
) até o ar externo (temperatura ). No caminho há quatro “resistências térmicas” em série por unidade de comprimento: - resistência de convecção interna entre fluido e parede interna;
- resistência de condução através da parede metálica do tubo (cilíndrica);
- resistência de condução através do isolante (cilíndrica);
- resistência de convecção externa entre a face externa do isolante e o ar.
- Para cilindros, a resistência de condução por unidade de comprimento entre raios
e é onde é a condutividade térmica do material e o apóstrofo indica resistência por unidade de comprimento (por metro de tubo). A convecção por unidade de comprimento sobre um cilindro de diâmetro tem resistência - Então as resistências por unidade de comprimento são:
onde
é o diâmetro externo com isolante.
Passo 3
Equação do balanço térmico e relação que liga
à temperatura externa permitida.
- A resistência térmica total por unidade de comprimento é
- A vazão de calor por unidade de comprimento, em regime estacionário, é
- A temperatura na face externa do isolante (a qual chamamos
) é a temperatura do fluido ambiente acrescida da queda de temperatura através da resistência de convecção externa: - Substituindo
obtemos - A condição de projeto é
. Portanto e, isolando as resistências sem , Esta forma é conveniente porque e dependem de e as demais resistências são conhecidas. Vamos trabalhar com essa equação para achar .
Passo 4
Substituição dos valores numéricos e obtenção da equação em
.
Primeiro calculo as resistências conhecidas (por unidade de comprimento; unidades implicam horas·metro/kcal, mas trabalhamos numericamente):
-
, .
Calcule
:
Calcule
:
Agora escrevemos explicitamente
e
em função de
:
A constante formada pela razão de temperaturas:
Portanto a equação do passo anterior fica
Substituindo as expressões:
Juntando os termos constantes:
Multiplicando ambos os lados por
(número positivo) para simplificar:
onde usei
e
.
Assim obtivemos uma equação transcendental em
:
Passo 5
Resolução numérica da equação transcendental por iteração (busca de raiz) — faço algumas tentativas e mostro os cálculos até convergir.
Defino a função
Queremos
com
.
Tentativas (mostro os cálculos aproximados):
-
(isolante de ):
-
(isolante de ):
Entre
e
a função troca de sinal, logo a raiz está nesse intervalo. Faço mais um passo intermediário:
-
:
Convergência:
satisfaz a equação com boa precisão.
Passo 6
Cálculo final da espessura do isolante e interpretação.
- Raio externo total encontrado:
. - Logo a espessura mínima do isolante é
- Em unidades práticas:
(Achei
por iteração numérica da equação que garante
. A parede metálica contribui muito pouco para a resistência térmica; a maior parte do isolamento vem do isolante e da convecção externa.)