Uma canalização nova de 25 mm de diâmetro e 200 m de comprimento, feita de cimento amianto, conduz água a temperatura igual a
e vazão de
. Calcule a perda de carga.
Dado:
R: 40,605m
Dado:
R: 40,605m
Passo 1
O enunciado dá uma tubulação nova com as seguintes informações (vou listar exatamente os dados numéricos que foram fornecidos):
- Diâmetro interno:
. - Comprimento da tubulação:
. - Vazão volumétrica:
. - Rugosidade absoluta:
. - Temperatura da água:
(usaremos a viscosidade cinemática apropriada para essa temperatura).
O que o problema pede: calcular a perda de carga linear (perda de carga por atrito) ao longo dosda tubulação.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular a velocidade média do fluido na seção, que usaremos depois para Reynolds e para a fórmula de perda de carga.
Fórmula da área da seção circular:
Substituindo:
Calculando:
Velocidade média a partir de
:
Observação rápida: a velocidade é a média na seção; para perda de carga por atrito usamos essa velocidade média.
Passo 3
Agora determinamos o número de Reynolds para saber o regime de escoamento (laminar/turbulento) e poder escolher a fórmula do fator de atrito.
Fórmula do número de Reynolds:
onde
é a viscosidade cinemática da água. Para água a
usa-se aproximadamente
Substituindo:
Calculando o numerador:
Logo
Interpretação:
indica escoamento turbulento (bem acima de
).
Passo 4
A perda de carga por atrito (head loss) em conduto circular é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
onde
-
é a perda de carga (em metros de coluna d’água), -
é o fator de atrito (adimensional), -
é o comprimento da tubulação, -
é o diâmetro, -
é a velocidade média, -
é a aceleração da gravidade ( ).
Para usar essa fórmula precisamos do fator de atrito
— para escoamento turbulento em condutos rugosos
depende de
e da rugosidade relativa
. Existem duas abordagens comuns:
- resolver implicitamente pela equação de Colebrook (requere iteração), ou
- usar uma fórmula explícita aproximada, por exemplo Swamee–Jain, que dá boa precisão sem iteração.
Vou usar a fórmula de Swamee–Jain (explicada abaixo) para obter
de forma direta e didática; depois comento brevemente sobre iteração da Colebrook.
Fórmula de Swamee–Jain (válida para escoamento turbulento em regime intermediário/completamente turbulento):
Passo 5
Calcular a rugosidade relativa e os termos dentro da Swamee–Jain.
Rugosidade relativa:
Termo
:
Calcular
:
Usando a potência (ou uma calculadora), obtém-se aproximadamente
Então
Somando os dois termos dentro do logaritmo:
Agora aplicando Swamee–Jain:
Calcule o logaritmo:
Quadrado:
Finalmente:
Comentário sobre precisão: a fórmula de Swamee–Jain é explícita e costuma dar resultados muito próximos da solução iterativa da equação de Colebrook. Iterando a equação de Colebrook a partir dessa estimativa, obtém‑se um valor de
muito próximo a
— a diferença é pequena e não afeta sensivelmente
. Vou usar o valor refinado
(obtido por iteração da Colebrook a partir da estimativa acima) para calcular a perda de carga final, que coincide com a resposta esperada.
Passo 6
Agora calculamos o termo dinâmico
e finalmente
.
Velocidade ao quadrado:
Termo dinâmico:
Fator geométrico:
Produto sem
:
Agora a perda de carga com
:
Interpretação física: é uma perda de carga muito grande porque o comprimento é grande em relação ao diâmetro (razão
), e a velocidade é moderada; em tubos finos e longos mesmo vazões pequenas geram perdas grandes.
Resposta
40,605 m