Exercício 17: Prove que eventos independentes não são disjunts, a menos que um deles tenha probabilidade zero.
Passo 1
O enunciado pede que eu prove a afirmação: “Eventos independentes não são disjuntos, a menos que um deles tenha probabilidade zero.”\n
Informações explícitas que tenho do enunciado:\n
Informações explícitas que tenho do enunciado:\n
- Temos dois eventos quaisquer, vou chamar de
e .\n - A afirmação envolve duas propriedades de eventos: independência e disjunção (mutuamente exclusivos).\n
- O objetivo é mostrar que é impossível ter ao mesmo tempo independência e disjunção, exceto no caso em que um dos eventos tem probabilidade zero.\n
Não vou resolver aqui; apenas organizei o que é pedido e as informações dadas.
Passo 2
Definição de independência (a ferramenta principal que usarei).\n
Dizemos que e
são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Formalmente, a definição usada em teoria de probabilidade é:
Dizemos que
Explicando:
é a probabilidade de os dois eventos ocorrerem juntos;
e
são as probabilidades individuais. A igualdade diz que a probabilidade conjunta é exatamente o produto das probabilidades individuais — sinal clássico de independência.
Passo 3
Definição de disjunção (mutuamente exclusivos).\n
Dizemos que e
são disjuntos se eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é,
Dizemos que
Da propriedade de probabilidade do conjunto vazio segue diretamente que
Explicando: se não há resultados em comum entre
e
, a probabilidade de ambos ocorrerem ao mesmo tempo é zero.
Passo 4
Combinação das definições: suponha que
e
são ambos independentes e disjuntos. Vou juntar as igualdades que cada definição implica.\n
- Independência dá:
- Disjunção dá:
Substituindo a segunda na primeira, obtenho a igualdade:
Passo 5
Interpretação da igualdade
.\n
Uma propriedade básica de números reais é: se o produto de dois números não-negativos é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Como probabilidades são números não-negativos, concluo:
Uma propriedade básica de números reais é: se o produto de dois números não-negativos é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Como probabilidades são números não-negativos, concluo:
Ou seja: se
e
são independentes e disjuntos, então pelo menos um deles tem probabilidade zero.
Passo 6
Reescrevendo no formato pedido pela afirmação do enunciado (contraposição intuitiva).\n
A afirmação dada pode ser lida também assim: “Se e
, então
e
não podem ser disjuntos.” Isto é apenas a contraposição da conclusão acima e fica claro a partir do passo anterior.
A afirmação dada pode ser lida também assim: “Se
Passo 7
Exemplos para fixar a intuição (úteis na prova para evitar confusão).\n
- Exemplo que mostra disjunção não implica independência: num lançamento de moeda justa, seja
e . Então e . Como mas , os eventos são disjuntos mas não independentes — isso ilustra que a disjunção tipicamente quebra a independência quando ambos têm probabilidade positiva.\n - Exemplo do caso excepcional permitido: seja
um evento com (evento impossível na prática, ou “nulo”) e qualquer evento. Então e , logo a igualdade da independência é satisfeita. Assim um evento de probabilidade zero pode ser ao mesmo tempo disjunto e independente de outro evento.
Passo 8
Resumo lógico final do argumento (fechamento da prova).\n
Partindo das definições, se e
são independentes e disjuntos então
. Como probabilidades são não-negativas, isso implica que
ou
. Portanto, eventos independentes não podem ser disjuntos a menos que um deles tenha probabilidade zero — exatamente o que o enunciado pede para provar.
Partindo das definições, se
Resposta
Se
e
são independentes e disjuntos, então
ou
.