Exercício 17: Prove que eventos independentes não são disjunts, a menos que um deles tenha probabilidade zero.

Passo 1

O enunciado pede que eu prove a afirmação: “Eventos independentes não são disjuntos, a menos que um deles tenha probabilidade zero.”\n
Informações explícitas que tenho do enunciado:\n
  • Temos dois eventos quaisquer, vou chamar de A e B.\n
  • A afirmação envolve duas propriedades de eventos: independência e disjunção (mutuamente exclusivos).\n
  • O objetivo é mostrar que é impossível ter ao mesmo tempo independência e disjunção, exceto no caso em que um dos eventos tem probabilidade zero.\n
    Não vou resolver aqui; apenas organizei o que é pedido e as informações dadas.

Passo 2

Definição de independência (a ferramenta principal que usarei).\n
Dizemos que A e B são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Formalmente, a definição usada em teoria de probabilidade é:
\text{\(A\) e \(B\) são independentes} \iff P(A\cap B)=P(A)\,P(B).ã
Explicando: P(A\cap B) é a probabilidade de os dois eventos ocorrerem juntos; P(A) e P(B) são as probabilidades individuais. A igualdade diz que a probabilidade conjunta é exatamente o produto das probabilidades individuais — sinal clássico de independência.

Passo 3

Definição de disjunção (mutuamente exclusivos).\n
Dizemos que A e B são disjuntos se eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é,
A\cap B=\varnothing.
Da propriedade de probabilidade do conjunto vazio segue diretamente que
A\cap B=\varnothing\implies P(A\cap B)=0.
Explicando: se não há resultados em comum entre A e B, a probabilidade de ambos ocorrerem ao mesmo tempo é zero.

Passo 4

Combinação das definições: suponha que A e B são ambos independentes e disjuntos. Vou juntar as igualdades que cada definição implica.\n
  • Independência dá:
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
  • Disjunção dá:
P(A\cap B)=0.
Substituindo a segunda na primeira, obtenho a igualdade:
P(A)\,P(B)=0.

Passo 5

Interpretação da igualdade P(A)\,P(B)=0.\n
Uma propriedade básica de números reais é: se o produto de dois números não-negativos é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Como probabilidades são números não-negativos, concluo:
P(A)\,P(B)=0 \implies P(A)=0 \quad\text{ou}\quad P(B)=0.
Ou seja: se A e B são independentes e disjuntos, então pelo menos um deles tem probabilidade zero.

Passo 6

Reescrevendo no formato pedido pela afirmação do enunciado (contraposição intuitiva).\n
A afirmação dada pode ser lida também assim: “Se P(A)>0 e P(B)>0, então A e B não podem ser disjuntos.” Isto é apenas a contraposição da conclusão acima e fica claro a partir do passo anterior.

Passo 7

Exemplos para fixar a intuição (úteis na prova para evitar confusão).\n
  1. Exemplo que mostra disjunção não implica independência: num lançamento de moeda justa, seja A=\{\text{cara}\} e B=\{\text{coroa}\}. Então A\cap B=\varnothing e P(A)=P(B)=\tfrac{1}{2}. Como P(A\cap B)=0 mas P(A)P(B)=\tfrac{1}{4}, os eventos são disjuntos mas não independentes — isso ilustra que a disjunção tipicamente quebra a independência quando ambos têm probabilidade positiva.\n
  2. Exemplo do caso excepcional permitido: seja A um evento com P(A)=0 (evento impossível na prática, ou “nulo”) e B qualquer evento. Então P(A\cap B)=0 e P(A)P(B)=0, logo a igualdade da independência é satisfeita. Assim um evento de probabilidade zero pode ser ao mesmo tempo disjunto e independente de outro evento.

Passo 8

Resumo lógico final do argumento (fechamento da prova).\n
Partindo das definições, se A e B são independentes e disjuntos então P(A)\,P(B)=0. Como probabilidades são não-negativas, isso implica que P(A)=0 ou P(B)=0. Portanto, eventos independentes não podem ser disjuntos a menos que um deles tenha probabilidade zero — exatamente o que o enunciado pede para provar.

Resposta

Se A e B são independentes e disjuntos, então P(A)=0 ou P(B)=0.

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