Exercício 12: Considere duas caixas, uma contendo 1 bola de gude branca e 1 preta, e a outra contendo 2 bolas de gude brancas e 1 preta. Uma caixa é selecionada aleatoriamente e uma bola é retirada ao acaso. Calcular:
(a) A probabilidade de que a bola retirada seja preta;
(b) A probabilidade de que a primeira caixa tenha sido selecionada dado que a bola é branca.

Passo 1

O enunciado dá duas caixas e um sorteio aleatório. Precisamos responder duas perguntas. Informações e perguntas listadas claramente:
  • Caixa 1 contém \,1 bola branca e \,1 bola preta.
  • Caixa 2 contém \,2 bolas brancas e \,1 bola preta.
  • Uma caixa é escolhida ao acaso — isto é, cada caixa tem a mesma chance de ser escolhida.
  • De dentro da caixa escolhida, uma bola é retirada ao acaso.
Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de a bola retirada ser preta?
(b) Qual é a probabilidade de que a Caixa 1 tenha sido selecionada, dado que a bola retirada é branca?

Passo 2

Vamos definir eventos e anotar as probabilidades que já sabemos. Isso organiza a resolução e ajuda na aplicação das fórmulas.
  • Defina B_1 = “foi escolhida a Caixa 1”.
  • Defina B_2 = “foi escolhida a Caixa 2”.
  • Defina \text{Preta} = “a bola retirada é preta”.
  • Defina \text{Branca} = “a bola retirada é branca”.
Como a caixa é escolhida aleatoriamente entre duas caixas, temos
P(B_1)=\tfrac{1}{2},\qquad P(B_2)=\tfrac{1}{2}.
Agora as probabilidades condicionais (probabilidade de tirar certa cor se já sabemos qual caixa foi escolhida). Estas vêm diretamente da razão número de bolas da cor / total de bolas na caixa.
  • Na Caixa 1 há 1 preta e 1 branca, total 2. Portanto
P(\text{Preta}\mid B_1)=\tfrac{1}{2},\qquad P(\text{Branca}\mid B_1)=\tfrac{1}{2}.
  • Na Caixa 2 há 1 preta e 2 brancas, total 3. Portanto
P(\text{Preta}\mid B_2)=\tfrac{1}{3},\qquad P(\text{Branca}\mid B_2)=\tfrac{2}{3}.
Explicação curta: por exemplo \;P(\text{Preta}\mid B_2)=\tfrac{1}{3}\; porque na Caixa 2 1 das 3 bolas é preta.

Passo 3

Calcular (a): usamos a ideia de soma ponderada das probabilidades condicionais — também conhecida como Regra da Probabilidade Total. A ideia: a bola preta pode sair se a Caixa 1 foi escolhida ou se a Caixa 2 foi escolhida; essas situações são mutuamente exclusivas, então somamos as probabilidades dessas interseções.
A fórmula da Regra da Probabilidade Total aqui é
P(\text{Preta})=P(B_1)P(\text{Preta}\mid B_1)+P(B_2)P(\text{Preta}\mid B_2).
Substituindo os valores que anotamos:
P(\text{Preta})=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}.
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4},\qquad \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}.
Somando:
\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{3}{12}+\tfrac{2}{12}=\tfrac{5}{12}.
Portanto a probabilidade da bola ser preta é \tfrac{5}{12}.

Passo 4

Calcular (b): precisamos de P(B_1\mid \text{Branca}), isto é, a probabilidade de ter escolhido a Caixa 1 dado que observamos uma bola branca. Aqui usamos o Teorema de Bayes. Vou explicar a fórmula e o que cada termo significa.
Teorema de Bayes (forma aplicada):
P(B_1\mid \text{Branca})=\frac{P(B_1)\,P(\text{Branca}\mid B_1)}{P(\text{Branca})}.
  • P(B_1) é a probabilidade a priori de ter escolhido a Caixa 1.
  • P(\text{Branca}\mid B_1) é a probabilidade de tirar branca se a Caixa 1 foi escolhida.
  • P(\text{Branca}) é a probabilidade total de tirar branca (normalizador), que podemos calcular pela Regra da Probabilidade Total.
Vou calcular P(\text{Branca}) antes de aplicar Bayes. Podemos usar P(\text{Branca})=1-P(\text{Preta}) ou aplicar diretamente a Regra da Probabilidade Total. Vou mostrar as duas formas para reforçar.
Forma 1 (complemento):
P(\text{Branca})=1-P(\text{Preta})=1-\tfrac{5}{12}=\tfrac{7}{12}.
Forma 2 (total):
P(\text{Branca})=P(B_1)P(\text{Branca}\mid B_1)+P(B_2)P(\text{Branca}\mid B_2) =\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3} =\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{3}{12}+\tfrac{4}{12}=\tfrac{7}{12}.
As duas formas dão o mesmo resultado \tfrac{7}{12}, bom sinal.

Passo 5

Agora aplicamos Bayes substituindo os números:
O numerador P(B_1)P(\text{Branca}\mid B_1) é
\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.
O denominador P(\text{Branca}) é \tfrac{7}{12} como calculado.
Portanto
P(B_1\mid \text{Branca})=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{7}{12}}=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{12}{7}=\tfrac{3}{7}.
Mostrei a simplificação: \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{12}{7}=\tfrac{12}{28}=\tfrac{3}{7}.

Passo 6

Verificação intuitiva e encorajamento: faz sentido que P(B_1\mid \text{Branca}) seja menor que \tfrac{1}{2}, porque ver uma bola branca aumenta a chance de termos escolhido a Caixa 2 (que tem proporção maior de brancas, 2/3 versus 1/2 da Caixa 1). O resultado \tfrac{3}{7}\approx0{,}4286 confirma essa intuição. Você foi bem seguindo os passos!

Resposta

(a) \tfrac{5}{12}
(b) \tfrac{3}{7}

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