Exercício 12: Considere duas caixas, uma contendo 1 bola de gude branca e 1 preta, e a outra contendo 2 bolas de gude brancas e 1 preta. Uma caixa é selecionada aleatoriamente e uma bola é retirada ao acaso. Calcular:
(a) A probabilidade de que a bola retirada seja preta;
(b) A probabilidade de que a primeira caixa tenha sido selecionada dado que a bola é branca.
(a) A probabilidade de que a bola retirada seja preta;
(b) A probabilidade de que a primeira caixa tenha sido selecionada dado que a bola é branca.
Passo 1
O enunciado dá duas caixas e um sorteio aleatório. Precisamos responder duas perguntas. Informações e perguntas listadas claramente:
- Caixa 1 contém
bola branca e bola preta. - Caixa 2 contém
bolas brancas e bola preta. - Uma caixa é escolhida ao acaso — isto é, cada caixa tem a mesma chance de ser escolhida.
- De dentro da caixa escolhida, uma bola é retirada ao acaso.
Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de a bola retirada ser preta?
(b) Qual é a probabilidade de que a Caixa 1 tenha sido selecionada, dado que a bola retirada é branca?
(a) Qual é a probabilidade de a bola retirada ser preta?
(b) Qual é a probabilidade de que a Caixa 1 tenha sido selecionada, dado que a bola retirada é branca?
Passo 2
Vamos definir eventos e anotar as probabilidades que já sabemos. Isso organiza a resolução e ajuda na aplicação das fórmulas.
- Defina
= “foi escolhida a Caixa 1”. - Defina
= “foi escolhida a Caixa 2”. - Defina
= “a bola retirada é preta”. - Defina
= “a bola retirada é branca”.
Como a caixa é escolhida aleatoriamente entre duas caixas, temos
Agora as probabilidades condicionais (probabilidade de tirar certa cor se já sabemos qual caixa foi escolhida). Estas vêm diretamente da razão número de bolas da cor / total de bolas na caixa.
- Na Caixa 1 há 1 preta e 1 branca, total 2. Portanto
- Na Caixa 2 há 1 preta e 2 brancas, total 3. Portanto
Explicação curta: por exemplo
porque na Caixa 2 1 das 3 bolas é preta.
Passo 3
Calcular (a): usamos a ideia de soma ponderada das probabilidades condicionais — também conhecida como Regra da Probabilidade Total. A ideia: a bola preta pode sair se a Caixa 1 foi escolhida ou se a Caixa 2 foi escolhida; essas situações são mutuamente exclusivas, então somamos as probabilidades dessas interseções.
A fórmula da Regra da Probabilidade Total aqui é
Substituindo os valores que anotamos:
Calcule passo a passo:
Somando:
Portanto a probabilidade da bola ser preta é
.
Passo 4
Calcular (b): precisamos de
, isto é, a probabilidade de ter escolhido a Caixa 1 dado que observamos uma bola branca. Aqui usamos o Teorema de Bayes. Vou explicar a fórmula e o que cada termo significa.
Teorema de Bayes (forma aplicada):
-
é a probabilidade a priori de ter escolhido a Caixa 1. -
é a probabilidade de tirar branca se a Caixa 1 foi escolhida. -
é a probabilidade total de tirar branca (normalizador), que podemos calcular pela Regra da Probabilidade Total.
Vou calcular
antes de aplicar Bayes. Podemos usar
ou aplicar diretamente a Regra da Probabilidade Total. Vou mostrar as duas formas para reforçar.
Forma 1 (complemento):
Forma 2 (total):
As duas formas dão o mesmo resultado
, bom sinal.
Passo 5
Agora aplicamos Bayes substituindo os números:
O numerador
é
O denominador
é
como calculado.
Portanto
Mostrei a simplificação:
.
Passo 6
Verificação intuitiva e encorajamento: faz sentido que
seja menor que
, porque ver uma bola branca aumenta a chance de termos escolhido a Caixa 2 (que tem proporção maior de brancas,
versus
da Caixa 1). O resultado
confirma essa intuição. Você foi bem seguindo os passos!
Resposta
(a)
(b)
(b)