Exercício 18: Os eventos
e
são independentes. Prove que
Passo 1
O enunciado diz: os eventos
,
e
são independentes. Ele pede para provar as igualdades
Informações relevantes dadas:
-
, e são independentes (isto significa, no sentido usual de independência mútua, que todas as interseções fatoram como produto de probabilidades; vou explicitar isso mais adiante). - Para que
esteja bem definida é necessário . Portanto devemos supor para a primeira igualdade e para a segunda; se algum desses for zero, a respectiva probabilidade condicional não está definida.
Passo 2
Relembrando definições e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
- Definição de probabilidade condicional: se
é um evento com , então a probabilidade de dado é
Aqui
é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente
e
;
é a probabilidade do evento condicionante. A ideia é “recalcular” as probabilidades considerando somente o universo reduzido a
.
- Definição de independência (caso de três eventos): dizer que
, e são independentes significa que valem as igualdades
e também a igualdade para a interseção tripla
Ou seja, qualquer interseção tem probabilidade igual ao produto das probabilidades dos fatores — essa propriedade é exatamente o que nos permite “fatorar” probabilidades nas contas abaixo.
Passo 3
Prova de
(passo a passo):
- Pela definição de probabilidade condicional,
- Note que
, então o numerador é . - Pela independência mútua temos
e também
- Substituindo esses valores no quociente:
- Cancelando
(isso é legítimo porque estamos assumindo ), obtemos
Explicação intuitiva: quando
e
não alteram a probabilidade de
(independência), saber que
e
ocorreram não muda nossa crença em
.
Passo 4
Prova de
(passo a passo):
- Pela definição,
- Usamos a distributividade da interseção sobre a união:
Esses dois conjuntos podem sobrepor-se; para a probabilidade usamos a fórmula da união (inclusão-exclusão):
- Pela independência, cada termo é produto:
- Substituindo na expressão do numerador:
- Para o denominador usamos a fórmula da união para
e :
Pela independência
, então
- Agora formamos o quociente:
- Cancelando o fator comum
(assumindo ), obtemos
Intuição: a probabilidade de
condicionada à ocorrência de
ou
também não muda porque a presença de
ou
não influencia
quando há independência mútua.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (apenas para treinar a conta):
- Suponha
, , e que são independentes. - Então
e . - Logo
. - Para a união,
e
portanto
.
- O exemplo confirma numericamente as igualdades.