Exercício 18: Os eventos A, B e C são independentes. Prove que P(B \mid A \cap C)=P(B \mid A \cup C)=P(B)

Passo 1

O enunciado diz: os eventos A, B e C são independentes. Ele pede para provar as igualdades
P(B \mid A \cap C)=P(B \mid A \cup C)=P(B).
Informações relevantes dadas:
  • A, B e C são independentes (isto significa, no sentido usual de independência mútua, que todas as interseções fatoram como produto de probabilidades; vou explicitar isso mais adiante).
  • Para que P(\,\cdot\mid E) esteja bem definida é necessário P(E)>0. Portanto devemos supor P(A\cap C)>0 para a primeira igualdade e P(A\cup C)>0 para a segunda; se algum desses for zero, a respectiva probabilidade condicional não está definida.

Passo 2

Relembrando definições e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Definição de probabilidade condicional: se E é um evento com P(E)>0, então a probabilidade de B dado E é
P(B\mid E)=\frac{P(B\cap E)}{P(E)}.
Aqui P(B\cap E) é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente B e E; P(E) é a probabilidade do evento condicionante. A ideia é “recalcular” as probabilidades considerando somente o universo reduzido a E.
  • Definição de independência (caso de três eventos): dizer que A, B e C são independentes significa que valem as igualdades
P(A\cap B)=P(A)P(B),\quad P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)},\quad P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)},
e também a igualdade para a interseção tripla
P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}.
Ou seja, qualquer interseção tem probabilidade igual ao produto das probabilidades dos fatores — essa propriedade é exatamente o que nos permite “fatorar” probabilidades nas contas abaixo.

Passo 3

Prova de P(B\mid A\cap C)=P(B) (passo a passo):
  • Pela definição de probabilidade condicional,
P(B\mid A\cap C)=\frac{P(B\cap (A\cap C))}{P(A\cap C)}.
  • Note que B\cap (A\cap C)=A\cap B\cap C, então o numerador é P(A\cap B\cap C).
  • Pela independência mútua temos
P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}
e também
P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)}.
  • Substituindo esses valores no quociente:
P(B\mid A\cap C)=\frac{P(A)P(B)P\text{(C)}}{P(A)P\text{(C)}}.
  • Cancelando P(A)P\text{(C)} (isso é legítimo porque estamos assumindo P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)}>0), obtemos
P(B\mid A\cap C)=P(B).
Explicação intuitiva: quando A e C não alteram a probabilidade de B (independência), saber que A e C ocorreram não muda nossa crença em B.

Passo 4

Prova de P(B\mid A\cup C)=P(B) (passo a passo):
  • Pela definição,
P(B\mid A\cup C)=\frac{P(B\cap (A\cup C))}{P(A\cup C)}.
  • Usamos a distributividade da interseção sobre a união:
B\cap (A\cup C)=(B\cap A)\cup (B\cap C).
Esses dois conjuntos podem sobrepor-se; para a probabilidade usamos a fórmula da união (inclusão-exclusão):
P\big((B\cap A)\cup (B\cap C)\big)=P(B\cap A)+P(B\cap C)-P(B\cap A\cap C).
  • Pela independência, cada termo é produto:
P(B\cap A)=P(A)P(B),\quad P(B\cap C)=P\text{(C)}P(B),\quad P(B\cap A\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}.
  • Substituindo na expressão do numerador:
P(B\cap (A\cup C))=P(B)\big(P(A)+P\text{(C)}-P(A)P\text{(C)}\big).
  • Para o denominador usamos a fórmula da união para A e C:
P(A\cup C)=P(A)+P\text{(C)}-P(A\cap C).
Pela independência P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)}, então
P(A\cup C)=P(A)+P\text{(C)}-P(A)P\text{(C)}.
  • Agora formamos o quociente:
P(B\mid A\cup C)=\frac{P(B)\big(P(A)+P\text{(C)}-P(A)P\text{(C)}\big)}{P(A)+P\text{(C)}-P(A)P\text{(C)}}.
  • Cancelando o fator comum P(A)+P\text{(C)}-P(A)P\text{(C)} (assumindo P(A\cup C)>0), obtemos
P(B\mid A\cup C)=P(B).
Intuição: a probabilidade de B condicionada à ocorrência de A ou C também não muda porque a presença de A ou C não influencia B quando há independência mútua.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (apenas para treinar a conta):
  • Suponha P(A)=\tfrac{1}{4}, P(B)=\tfrac{1}{3}, P\text{(C)}=\tfrac{1}{2} e que A,B,C são independentes.
  • Então P(A\cap C)=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{8} e P(A\cap B\cap C)=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{24}.
  • Logo P(B\mid A\cap C)=\dfrac{\tfrac{1}{24}}{\tfrac{1}{8}}=\tfrac{1}{3}=P(B).
  • Para a união, P(A\cup C)=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{8}=\tfrac{5}{8} e
P(B\cap(A\cup C))=\tfrac{1}{3}\big(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{8}\big)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{5}{8}=\tfrac{5}{24},
portanto P(B\mid A\cup C)=\dfrac{\tfrac{5}{24}}{\tfrac{5}{8}}=\tfrac{1}{3}=P(B).
  • O exemplo confirma numericamente as igualdades.

Resposta

P(B \mid A \cap C)=P(B)
P(B \mid A \cup C)=P(B)

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