Exercício 1.5.17. Quantos são os anagramas da palavra ARARAQUARA que começam por consoante ou terminam em vogal?

Passo 1

O enunciado pede o número de anagramas da palavra ARARAQUARA (10 letras com 5 A, 3 R, 1 Q e 1 U) que satisfazem “começam por consoante ou terminam em vogal”. Vamos usar Permutações com Repetição e o Princípio da Inclusão-Exclusão.

Passo 2

Calculemos primeiro o total de anagramas, sem restrição. Como há 10 letras com repetições, vale
10!5!,3!,1!,1!
Como 1!=1, fica
10!5!,3!=3628800120cdot6=5040

Passo 3

Contagem dos que começam por consoante. As consoantes disponíveis são R (3 cópias) e Q (1 cópia).
  • Se a palavra começa por R, sobra na caixinha 9 letras: A^5,R^2,Q^1,U^1, total de 9!5!,2!,1!,1! =362880120cdot2=1512
  • Se começa por Q, sobra A^5,R^3,U^1, total de 9!5!,3!,1! =362880120cdot6=504
Logo,
l|começa consoanter|=1512+504=2016 ç

Passo 4

Contagem dos que terminam em vogal. As vogais são A (5 cópias) e U (1 cópia).
  • Se termina em A, resta A^4,R^3,Q^1,U^1, total de 9!4!,3!,1!,1! =36288024cdot6=2520
  • Se termina em U, resta A^5,R^3,Q^1, total de 9!5!,3!,1! =362880120cdot6=504
Logo,
l|termina vogalr|=2520+504=3024

Passo 5

Agora os que começam por consoante e terminam em vogal (interseção). Temos quatro subcasos:
  1. começa R e termina A: sobra A^4,R^2,Q^1,U^1, total 8!4!,2!,1!,1! =4032024cdot2=840
  2. começa R e termina U: sobra A^5,R^2,Q^1, total 8!5!,2!,1! =40320120cdot2=168
  3. começa Q e termina A: sobra A^4,R^3,U^1, total 8!4!,3!,1! =4032024cdot6=280
  4. começa Q e termina U: sobra A^5,R^3, total 8!5!,3! =40320120cdot6=56
Somando os quatro valores,
l|começa consoante e termina vogalr| =840+168+280+56=1344 ç

Passo 6

Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão, o número de anagramas que começam por consoante ou terminam em vogal é
2016 + 3024 - 1344 = 3696

Resposta

3696

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