Exercício 1.5.17. Quantos são os anagramas da palavra ARARAQUARA que começam por consoante ou terminam em vogal?
Passo 1
O enunciado pede o número de anagramas da palavra ARARAQUARA (10 letras com 5 A, 3 R, 1 Q e 1 U) que satisfazem “começam por consoante ou terminam em vogal”. Vamos usar Permutações com Repetição e o Princípio da Inclusão-Exclusão.
Passo 2
Calculemos primeiro o total de anagramas, sem restrição. Como há 10 letras com repetições, vale
Como , fica
Passo 3
Contagem dos que começam por consoante. As consoantes disponíveis são (3 cópias) e (1 cópia).
Se a palavra começa por , sobra na caixinha 9 letras: , total de
Se começa por , sobra , total de
Logo,
Passo 4
Contagem dos que terminam em vogal. As vogais são A (5 cópias) e U (1 cópia).
Se termina em A, resta A^4,R^3,Q^1,U^1, total de 9!4!,3!,1!,1! =36288024cdot6=2520
Se termina em U, resta A^5,R^3,Q^1, total de 9!5!,3!,1! =362880120cdot6=504
Logo,
l|termina vogalr|=2520+504=3024
Passo 5
Agora os que começam por consoante e terminam em vogal (interseção). Temos quatro subcasos:
começa R e termina A: sobra A^4,R^2,Q^1,U^1, total 8!4!,2!,1!,1! =4032024cdot2=840
começa R e termina U: sobra A^5,R^2,Q^1, total 8!5!,2!,1! =40320120cdot2=168
começa Q e termina A: sobra A^4,R^3,U^1, total 8!4!,3!,1! =4032024cdot6=280
começa Q e termina U: sobra A^5,R^3, total 8!5!,3! =40320120cdot6=56
Somando os quatro valores,
l|começa consoante e termina vogalr| =840+168+280+56=1344 ç
Passo 6
Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão, o número de anagramas que começam por consoante ou terminam em vogal é