Exercício 1.5.18. Uma professora distribui oito livros diferentes para oito crianças. Um mês depois recolhe os livros e, novamente, distribui um livro para cada criança. De quantas maneiras os livros podem ser distribuídos de modo que somente duas das crianças recebam o mesmo livro desta vez?

Passo 1

O enunciado diz que havia oito crianças numeradas de 1 a 8, cada uma com um livro distinto. Após recolher os livros, redistribui-se um para cada criança de forma que exatamente duas crianças recebam o mesmo livro que tinham antes e as outras seis recebam livros diferentes dos seus originais. O conteúdo de matéria é contagem de permutações com restrição de pontos fixos, usando combinações e deranjos.

Passo 2

Escolhemos quais serão as duas crianças que recebem o mesmo livro de antes. Há
binom82
maneiras de escolher esse par de crianças.

Passo 3

Para as outras seis crianças, precisamos contar o número de formas de distribuir seus livros restantes de modo que nenhuma receba o seu original. Isso é justamente o número de deranjos de seis elementos, denotado por !6. Usando inclusão-exclusão ou a fórmula dos deranjos:
!6 = 6! sumk=0^6 (-1)^kk! = 720l(1 - 1 + tfrac12 - tfrac16 + tfrac124 - tfrac1120 + tfrac1720r) = 265

Passo 4

Pelo princípio fundamental da contagem, multiplicamos as escolhas das duas crianças fixas pelo número de deranjos das demais seis. Assim, o total de distribuições desejadas é
binom82times !6 = 28times 265 = 7420

Resposta

7420

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