Exercício 17 (Regra da cadeia e retas tangentes.).
x f(x) g(x) f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)
1 3 2 4 6
2 1 8 5 7
3 7 2 7 9
Encontre o valor (g \circ f)^{\prime}(1). Calcule o valor (g \circ f)^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com valores de f, g e suas derivadas em x=1,2,3. Vou listar as informações relevantes que aparecem na tabela e o que é pedido:
\begin{array}{c|c|c|c|c} x & f(x) & g(x) & f'(x) & g'(x) \\\ \hline 1 & 3 & 2 & 4 & 6 \\\\ 2 & 1 & 8 & 5 & 7 \\\\ 3 & 7 & 2 & 7 & 9 \end{array}
Informações extraídas diretamente da tabela:
f(1)=3,\quad f'(1)=4,\quad g'(3)=9.
O que o problema pergunta:
\text{Calcular }(g\circ f)^{\prime}(1).

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar (a conhecida regra da cadeia). Para duas funções f e g, a derivada da função composta g\circ f em um ponto x é dada por
(g\circ f)^{\prime}(x)=g^{\prime}\big(f(x)\big)\cdot f^{\prime}(x).
Explicando cada parte dessa fórmula de um jeito simples:
  • f(x) é a função interna (a que entra primeiro na composição). Em termos concretos, você calcula f(x) e obtém um número.
  • g^{\prime}(\,f(x)\,) significa: pegue a derivada de g e avalie exatamente no número f(x).
  • f^{\prime}(x) é a derivada da função interna no ponto x.
  • O resultado é o produto desses dois números: a taxa de variação de g no ponto f(x) vezes a taxa de variação de f em x.
    Um exemplo pequenino para fixar: se f(x)=x^2 e g(u)=\sin u, então (g\circ f)'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x. Aqui \cos(x^2) veio de g'(\,f(x)\,) e 2x é f'(x).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao ponto x=1. Pela regra da cadeia:
(g\circ f)^{\prime}(1)=g^{\prime}\big(f(1)\big)\cdot f^{\prime}(1).
Agora vamos pegar os valores da tabela passo a passo:
  1. Primeiro calcule f(1). Da tabela temos f(1)=3.
  2. Em seguida precisamos de g^{\prime}\big(f(1)\big)=g^{\prime}(3). Da tabela vemos g^{\prime}(3)=9.
  3. Também precisamos de f^{\prime}(1). Da tabela vemos f^{\prime}(1)=4.

Passo 4

Multiplicando os valores obtidos:
(g\circ f)^{\prime}(1)=g^{\prime}(3)\cdot f^{\prime}(1)=9\cdot 4=36.

Resposta

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