Exercício 18. Calcule a derivada de
utilizando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada de
utilizando a regra da cadeia.
Informações dadas: a função é
. Não há outras restrições ou dados numéricos.
Informações dadas: a função
Passo 2
Entender o que significa aplicar a regra da cadeia de forma simples e prática. A ideia é que, quando temos uma função composta
, a derivada de
em relação a
é o produto da derivada de
em relação a
pelo derivado de
em relação a
. Em fórmulas:
Explicando as letras:
é a função “externa” aplicada ao resultado de
, e
é a função “interna”. Primeiro derivamos a externa como se a interna fosse uma nova variável, depois multiplicamos pela derivada da interna.
Passo 3
Identificar a função externa
e a função interna
no nosso problema. Para
fazemos a substituição auxiliar
e
onde
representa a variável de
. Assim
.
Passo 4
Calcular a derivada da função externa
em relação a
. Sabemos a regra básica:
Portanto
Passo 5
Calcular a derivada da função interna
em relação a
. Usamos a regra do poder:
e a constante desaparece ao derivar, então
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados: substituímos
na derivada da externa e multiplicamos por
. Assim
Voltando
,