Exercício 18. Calcule a derivada de f(x)=\sin \left(x^{2}+1\right) utilizando a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada de f(x)=\sin\left(x^{2}+1\right) utilizando a regra da cadeia.
Informações dadas: a função f é f(x)=\sin\left(x^{2}+1\right). Não há outras restrições ou dados numéricos.

Passo 2

Entender o que significa aplicar a regra da cadeia de forma simples e prática. A ideia é que, quando temos uma função composta f(x)=g(h(x)), a derivada de f em relação a x é o produto da derivada de g em relação a h pelo derivado de h em relação a x. Em fórmulas:
\frac{d}{dx}g(h(x)) = g'(h(x))\cdot h'(x).
Explicando as letras: g é a função “externa” aplicada ao resultado de h(x), e h é a função “interna”. Primeiro derivamos a externa como se a interna fosse uma nova variável, depois multiplicamos pela derivada da interna.

Passo 3

Identificar a função externa g e a função interna h no nosso problema. Para
f(x)=\sin\left(x^{2}+1\right)
fazemos a substituição auxiliar
h(x)=x^{2}+1
e
g(u)=\sin(u),
onde u representa a variável de g. Assim f(x)=g(h(x)).

Passo 4

Calcular a derivada da função externa g(u)=\sin(u) em relação a u. Sabemos a regra básica:
\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u).
Portanto
g'(u)=\cos(u).

Passo 5

Calcular a derivada da função interna h(x)=x^{2}+1 em relação a x. Usamos a regra do poder:
\frac{d}{dx}x^{2}=2x
e a constante desaparece ao derivar, então
h'(x)=2x.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados: substituímos u=h(x)=x^{2}+1 na derivada da externa e multiplicamos por h'(x). Assim
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\cos\big(h(x)\big)\cdot 2x.
Voltando h(x)=x^{2}+1,
f'(x)=2x\cos\big(x^{2}+1\big).

Resposta

f'(x)=2x\cos\big(x^{2}+1\big)

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