Exercício 19. Encontre f^{\prime}(x) para f(x)=e^{x^{3}}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x^{3}} e pede para encontrar a derivada f'(x).
Informações relevantes: a função é a exponencial de uma potência, ou seja, há uma função “externa” e^{(\cdot)} aplicada a uma função “interna” x^{3}.
Pergunta: calcular explicitamente f'(x).

Passo 2

Lembrete importante (regra que vamos usar): a derivada da exponencial é ela mesma. Ou seja, para uma variável qualquer t,
\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
Aqui t é só um nome de variável; essa propriedade diz que se você derivar e^{\text{algo}} em relação ao próprio argumento, o resultado é e^{\text{algo}}.

Passo 3

Agora precisamos da regra da cadeia (explicação didática). A regra da cadeia serve para derivar uma composição de funções. Se tivermos uma função composta F(x)=H(U(x)), então a derivada é a derivada da função externa avaliada na interna, multiplicada pela derivada da função interna. Em fórmulas:
\frac{d}{dx}H(U(x))=H'(U(x))\cdot U'(x).
Intuição curta: quando x muda um pouquinho, U(x) muda conforme U'(x); a mudança de H em função de U é H'(U). Multiplicamos essas duas taxas para obter a taxa total de F em relação a x.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso: identifique a função interna e a externa.
Defina U(x)=x^{3} (função interna) e H(u)=e^{u} (função externa, com u representando o argumento).
Calcule a derivada da interna:
U(x)=x^{3}\quad\Rightarrow\quad U'(x)=\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
Aqui usamos a regra da potência: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Para n=3 obtemos 3x^{2}.

Passo 5

Calcule a derivada da externa em termos de u:
H(u)=e^{u}\quad\Rightarrow\quad H'(u)=e^{u}.
Pela regra da cadeia, agora substituímos u=U(x)=x^{3} e multiplicamos por U'(x):
f'(x)=H'(U(x))\cdot U'(x)=e^{U(x)}\cdot 3x^{2}=3x^{2}e^{x^{3}}.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (sem calcular novo do zero): se tivéssemos g(x)=e^{2x}, então U(x)=2x, U'(x)=2, e
g'(x)=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}.
É exatamente o mesmo procedimento: derivar a interna e multiplicar pela exponencial avaliada na interna.

Passo 7

Dica para a prova (prática): passos rápidos que você pode escrever sem frescura na folha:
  1. identificar a “interna” U(x), 2) calcular U'(x), 3) escrever f'(x)=e^{U(x)}\cdot U'(x), 4) simplificar. No exercício dado isso vira direto f'(x)=3x^{2}e^{x^{3}}. Respira — tá feito!

Resposta

f'(x)=3x^{2}e^{x^{3}}

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