Exercício 19. Encontre
para
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
.
Informações relevantes: a função é a exponencial de uma potência, ou seja, há uma função “externa” aplicada a uma função “interna”
.
Pergunta: calcular explicitamente .
Informações relevantes: a função é a exponencial de uma potência, ou seja, há uma função “externa”
Pergunta: calcular explicitamente
Passo 2
Lembrete importante (regra que vamos usar): a derivada da exponencial é ela mesma. Ou seja, para uma variável qualquer
,
Aqui
é só um nome de variável; essa propriedade diz que se você derivar
em relação ao próprio argumento, o resultado é
.
Passo 3
Agora precisamos da regra da cadeia (explicação didática). A regra da cadeia serve para derivar uma composição de funções. Se tivermos uma função composta
, então a derivada é a derivada da função externa avaliada na interna, multiplicada pela derivada da função interna. Em fórmulas:
Intuição curta: quando
muda um pouquinho,
muda conforme
; a mudança de
em função de
é
. Multiplicamos essas duas taxas para obter a taxa total de
em relação a
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso: identifique a função interna e a externa.
Defina (função interna) e
(função externa, com
representando o argumento).
Calcule a derivada da interna:
Defina
Calcule a derivada da interna:
Aqui usamos a regra da potência: a derivada de
é
. Para
obtemos
.
Passo 5
Calcule a derivada da externa em termos de
:
Pela regra da cadeia, agora substituímos
e multiplicamos por
:
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (sem calcular novo do zero): se tivéssemos
, então
,
, e
É exatamente o mesmo procedimento: derivar a interna e multiplicar pela exponencial avaliada na interna.
Passo 7
Dica para a prova (prática): passos rápidos que você pode escrever sem frescura na folha:
- identificar a “interna”
, 2) calcular , 3) escrever , 4) simplificar. No exercício dado isso vira direto . Respira — tá feito!