Exercício 17. (F. 4.2, ex.3) Resolva a equação abaixo:
Passo 1
O enunciado é a equação da difusão (ou calor)
com condições de contorno não homogêneas
e condição inicial
Para resolver, vamos decompor
u em uma parte estacionária que resolve o problema sem dependência de
t e uma parte transitória com contorno homogêneo.
Passo 2
Procuramos a solução estacionária
w(x) satisfazendo
Da equação
w''=0 vem
w(x)=A,x+B . Da condição
w(0)=0 obtemos
B=0 , e de
w'(l)=A=C segue
Passo 3
Definimos a parte transitória
v(t,x) por
Substituindo na equação de calor, vemos que
v satisfaz
com contornos homogêneos
e condição inicial
Passo 4
Resolvemos
vt=k,vxx por separação de variáveis. O problema de autovalores é
cujas soluções não-triviais são
Assim
Passo 5
Os coeficientes
bn vêm da expansão da condição inicial
Usamos a ortogonalidade em
[0,l] :
Chamando
alphan=tfrac(2n+1)pi2,l , integrais padrão dão
pois
cos(alphan l)=0 e
sin(alphan l)=(-1)^n . Logo
Passo 6
Reunindo tudo, a solução completa é