Exercício 17. (F. 4.2, ex.3) Resolva a equação abaixo:
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x),(t, x) in] 0, infty[times] 0, l[ u(t, 0)=0, partial upartial x(t, l)=C, t>infty u(0, x)=50, forall x in] 0, l[

Passo 1

O enunciado é a equação da difusão (ou calor)
partial upartial t(t,x)=k,partial^2upartial x^2(t,x), (t,x)in]0,infty[times]0,l[
com condições de contorno não homogêneas
u(t,0)=0, partial upartial x(t,l)=C,
e condição inicial
u(0,x)=50,;forall xin]0,l[
Para resolver, vamos decompor u em uma parte estacionária que resolve o problema sem dependência de t e uma parte transitória com contorno homogêneo.

Passo 2

Procuramos a solução estacionária w(x) satisfazendo
k,w''(x)=0, w(0)=0, w'(l)=C
Da equação w''=0 vem w(x)=A,x+B. Da condição w(0)=0 obtemos B=0, e de w'(l)=A=C segue
w(x)=C,x

Passo 3

Definimos a parte transitória v(t,x) por
u(t,x)=v(t,x)+w(x)=v(t,x)+C,x
Substituindo na equação de calor, vemos que v satisfaz
partial vpartial t=k,partial^2vpartial x^2,
com contornos homogêneos
v(t,0)=u(t,0)-w(0)=0, partial vpartial x(t,l)=partial upartial x(t,l)-w'(l)=C-C=0,
e condição inicial
v(0,x)=u(0,x)-w(x)=50-C,x

Passo 4

Resolvemos vt=k,vxx por separação de variáveis. O problema de autovalores é
phi''(x)+lambda,phi(x)=0, phi(0)=0,;phi'(l)=0,
cujas soluções não-triviais são
lambdan=l((2n+1)pi2,lr)^2, phin(x)=sin!l(tfrac(2n+1)pi2,lxr), n=0,1,2,dots
Assim
v(x,t)=sumn=0^inftybn,e^-k,lambdan,t sin!l(tfrac(2n+1)pi2,lxr)

Passo 5

Os coeficientes bn vêm da expansão da condição inicial
50-C,x =sumn=0^inftybn, sin!l(tfrac(2n+1)pi2,lxr)
Usamos a ortogonalidade em [0,l]:
bn=2l integral0^l(50-C,x) sin!l(tfrac(2n+1)pi2,lxr),dx
Chamando alphan=tfrac(2n+1)pi2,l, integrais padrão dão
integral0^l50sin(alphan x),dx =50alphan, integral0^lxsin(alphan x),dx =(-1)^nalphan^2,
pois cos(alphan l)=0 e sin(alphan l)=(-1)^n. Logo
bn =2ll(50alphan-C,(-1)^nalphan^2r) =200(2n+1)pi -8,C,l,(-1)^n(2n+1)^2pi^2

Passo 6

Reunindo tudo, a solução completa é
u(x,t) =C,x +sumn=0^infty l[ 200(2n+1)pi -8,C,l,(-1)^n(2n+1)^2pi^2 r] exp!l(-kl(tfrac(2n+1)pi2,lr)^2tr) sin!l(tfrac(2n+1)pi2,lxr)

Resposta

boxed u(x,t)=C,x +sumn=0^infty l[ 200(2n+1)pi -8,C,l,(-1)^n(2n+1)^2pi^2 r] e^-kl((2n+1)pi2lr)^2t sin!l((2n+1)pi2lxr)

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