Questão 4 (3,5 pontos)

Resolver o problema de contorno definido pela equação
& ut t=4 ux x & ux(0, t)=0, ux(pi, t)=0 & u(x, 0)=f(x) & ut(x, 0)=0)

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de contorno para a equação da onda unidimensional com velocidade c=2:
ut t=4,ux x,
sujeito às condições de contorno de Neumann
ux(0,t)=0, ux(pi,t)=0
e às condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0
O conteúdo principal é separar variáveis, resolver o problema de autovalores para o espaço e usar séries de Fourier em cossenos para acomodar o contorno de Neumann.

Passo 2

Assumimos a forma separada
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo em ut t=4ux x e dividindo por 4X(x)T(t) obtemos
T''(t)4T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde lambda é a constante de separação.

Passo 3

O problema espacial fica
X''(x)+lambda X(x)=0, X'(0)=0,;X'(pi)=0
As soluções não-triviais geram autovalores lambdan=n^2 e autofunções
Xn(x)=cos(nx), n=0,1,2,dots
(com cos(0x)=1 para o modo n=0).

Passo 4

Para cada n a equação temporal é
Tn''(t)+4n^2,Tn(t)=0,
cuja solução geral é
Tn(t)=Ancos(2n,t)+Bnsin(2n,t)
Portanto, a solução geral por soma de modos é
u(x,t)=sumn=0^inftyl[Ancos(2n,t)+Bnsin(2n,t)r]cos(nx)

Passo 5

Aplicando as condições iniciais:
  1. De ut(x,0)=0 vem
sumn=0^infty2n,Bncos(nx)=0
para todo x, logo Bn=0 para todo n.
  1. De u(x,0)=f(x) segue
sumn=0^inftyAncos(nx)=f(x)
Assim, An são os coeficientes da série de Fourier em cossenos de f:
A0=1piintegral0^pif(x),dx, An=2piintegral0^pif(x)cos(nx),dx (n>=1)

Resposta

u(x,t) = 1pigl(integral0^pif(s),dsgr) + sumn=1^infty gl[2piintegral0^pif(s)cos(ns),dsgr] cos(2n,t),cos(nx)

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