Questão 4 (3,5 pontos)
Resolver o problema de contorno definido pela equação
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de contorno para a equação da onda unidimensional com velocidade
:
sujeito às condições de contorno de Neumann
e às condições iniciais
O conteúdo principal é separar variáveis, resolver o problema de autovalores para o espaço e usar séries de Fourier em cossenos para acomodar o contorno de Neumann.
Passo 2
Assumimos a forma separada
Substituindo em
e dividindo por
obtemos
onde
é a constante de separação.
Passo 3
O problema espacial fica
As soluções não-triviais geram autovalores
e autofunções
(com
para o modo
).
Passo 4
Para cada
a equação temporal é
cuja solução geral é
Portanto, a solução geral por soma de modos é
Passo 5
Aplicando as condições iniciais:
- De
vem
para todo
, logo
para todo
.
- De
segue
Assim,
são os coeficientes da série de Fourier em cossenos de
: