Exercício 17 Resolva as equações abaixo fazendo a substituição
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
fazendo a substituição
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação envolve
, sua primeira derivada e sua segunda derivada . - Foi sugerida a substituição
, ou seja, transformar a equação de segunda ordem em uma de primeira ordem para . - Não há condições iniciais fornecidas, então queremos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Façamos a substituição indicada. Definimos
.
Agora precisamos relacionar com
. Como
é a derivada de
em relação a
, temos
Agora precisamos relacionar
Substituindo
e
na equação original obtemos a equação para
:
Passo 3
Transformamos a equação para uma forma mais direta. Supondo
(explicarei essa hipótese em seguida), dividimos ambos os lados por
:
Escrevendo derivada explicitamente como razão, isso é
Essa é uma equação de primeira ordem que é separável — podemos separar as variáveis
e
.
Passo 4
Separe as variáveis e integre. Colocamos todos os termos em
do lado esquerdo e os termos em
do lado direito:
Agora integramos ambos os lados:
As integrais são as funções logarítmicas naturais. Calculando:
onde
é uma constante de integração arbitrária. Aqui usei valor absoluto porque o logaritmo natural exige argumento positivo; isso permite cobrir soluçõs com
negativo também.
Passo 5
Eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados. Aplicando exponencial,
Podemos incorporar o sinal e
em uma constante arbitrária
(podendo ser positiva, negativa ou zero). Assim obtemos
onde
é uma constante arbitrária real. Em termos de
, isso significa
Passo 6
Integramos agora para obter
. Temos
Integrando em relação a
,
onde
é outra constante de integração arbitrária. Portanto a solução geral é
Passo 7
Comentários finais (didáticos e práticos):
- Ao dividir por
assumimos ; assim a dedução é imediata em qualquer intervalo que não contenha . A forma final pode ser estendida continuamente a e satisfaz a equação em todo , já que para essa solução , o que respeita a condição que a equação impõe em (isto é, ). - A solução contém duas constantes arbitrárias
e , como esperado para uma equação diferencial de segunda ordem. - Exemplo de verificação rápida: escolhendo
e , temos , e . Então , a equação é satisfeita.