Exercício 17 Resolva as equações abaixo fazendo a substituição v=y^{\prime}.
t y^{\prime \prime}=y^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
t\,y^{\prime\prime}=y^{\prime}
fazendo a substituição \,v=y^{\prime}.
Informações dadas:
  • A equação envolve y(t), sua primeira derivada y^{\prime} e sua segunda derivada y^{\prime\prime}.
  • Foi sugerida a substituição \,v=y^{\prime}, ou seja, transformar a equação de segunda ordem em uma de primeira ordem para v(t).
  • Não há condições iniciais fornecidas, então queremos a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Façamos a substituição indicada. Definimos \,v(t)=y^{\prime}(t).
Agora precisamos relacionar v^{\prime} com y^{\prime\prime}. Como v é a derivada de y em relação a t, temos
v^{\prime}(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(y^{\prime}(t)\bigr)=y^{\prime\prime}(t).
Substituindo y^{\prime\prime}=v^{\prime} e y^{\prime}=v na equação original obtemos a equação para v:
t\,v^{\prime}=v.

Passo 3

Transformamos a equação para uma forma mais direta. Supondo t\neq 0 (explicarei essa hipótese em seguida), dividimos ambos os lados por t:
v^{\prime}=\frac{v}{t}.
Escrevendo derivada explicitamente como razão, isso é
\frac{dv}{dt}=\frac{v}{t}.
Essa é uma equação de primeira ordem que é separável — podemos separar as variáveis v e t.

Passo 4

Separe as variáveis e integre. Colocamos todos os termos em v do lado esquerdo e os termos em t do lado direito:
\frac{1}{v}\,dv=\frac{1}{t}\,dt.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{v}\,dv=\int \frac{1}{t}\,dt.
As integrais são as funções logarítmicas naturais. Calculando:
\ln|v|=\ln|t|+C,
onde C é uma constante de integração arbitrária. Aqui usei valor absoluto porque o logaritmo natural exige argumento positivo; isso permite cobrir soluçõs com v negativo também.

Passo 5

Eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados. Aplicando exponencial,
|v|=e^{\ln|t|+C}=e^{C}\,|t|.
Podemos incorporar o sinal e e^{C} em uma constante arbitrária C_{1} (podendo ser positiva, negativa ou zero). Assim obtemos
v=C_{1}\,t,
onde C_{1} é uma constante arbitrária real. Em termos de y, isso significa
y^{\prime}=v=C_{1}\,t.

Passo 6

Integramos agora para obter y(t). Temos
\frac{dy}{dt}=C_{1}\,t.
Integrando em relação a t,
y(t)=\int C_{1}\,t\,dt=C_{1}\int t\,dt=C_{1}\,\frac{t^{2}}{2}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração arbitrária. Portanto a solução geral é
y(t)=C_{1}\,\frac{t^{2}}{2}+C_{2}.

Passo 7

Comentários finais (didáticos e práticos):
  • Ao dividir por t assumimos t\neq 0; assim a dedução é imediata em qualquer intervalo que não contenha 0. A forma final y(t)=C_{1}\frac{t^{2}}{2}+C_{2} pode ser estendida continuamente a t=0 e satisfaz a equação em todo t, já que para essa solução y^{\prime}(0)=C_{1}\cdot 0=0, o que respeita a condição que a equação impõe em t=0 (isto é, 0\cdot y^{\prime\prime}(0)=y^{\prime}(0)\Rightarrow 0=y^{\prime}(0)).
  • A solução contém duas constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}, como esperado para uma equação diferencial de segunda ordem.
  • Exemplo de verificação rápida: escolhendo C_{1}=2 e C_{2}=3, temos y(t)=t^{2}+3, y^{\prime}=2t e y^{\prime\prime}=2. Então t\,y^{\prime\prime}=2t=y^{\prime}, a equação é satisfeita.

Resposta

y(t)=C_{1}\,\frac{t^{2}}{2}+C_{2}

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