Exercício 17. Resolva as expressões:
\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right):\left(1-\frac{1}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right):\left(1-\frac{1}{6}\right).
As informações dadas são os quatro termos nas parênteses: 1-\tfrac{1}{2}, 1-\tfrac{1}{3}, 1-\tfrac{1}{4} e 1-\tfrac{1}{6}. O símbolo : significa divisão (ou seja, o produto dos três primeiros fatores dividido pelo quarto fator).

Passo 2

Calcular cada diferença simples dentro dos parênteses. Para subtrair 1 e uma fração, põe-se 1 com denominador igual ao da fração:
1-\frac{1}{2}=\frac{2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},
1-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},
1-\frac{1}{4}=\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},
1-\frac{1}{6}=\frac{6}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.

Passo 3

Multiplicar os três primeiros fatores. Regra: ao multiplicar frações, multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador. Porém é mais prático simplificar (cancelar) antes:
\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{3}{4}\right).
Observa-se que o 2 do numerador do segundo fator cancela com o 2 do denominador do primeiro, e o 3 do numerador do terceiro cancela com o 3 do denominador do segundo. Fazendo as cancelas:
\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1\cdot\cancel{2}\cdot\cancel{3}}{\cancel{2}\cdot\cancel{3}\cdot4}=\frac{1}{4}.
Alternativamente, multiplicando direto: \dfrac{1\cdot2\cdot3}{2\cdot3\cdot4}=\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}.

Passo 4

Agora temos que dividir o resultado obtido pelo quarto fator \dfrac{5}{6}. A divisão de frações segue a regra “multiplicar pela inversa” (recíproco): para \dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d} faz-se \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}. Aplicando aqui:
\frac{1}{4}:\frac{5}{6}=\frac{1}{4}\cdot\frac{6}{5}.

Passo 5

Executar a multiplicação e simplificar. Multiplica-se numeradores e denominadores e simplifica por fatores comuns:
\frac{1}{4}\cdot\frac{6}{5}=\frac{1\cdot6}{4\cdot5}=\frac{6}{20}.
Dividindo numerador e denominador por 2 (máximo divisor comum simples):
\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.

Resposta

\tfrac{3}{10}

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