Exercício 0.17 Resolva as seguintes inequações, em \mathbb{R},
\operatorname{sen} x \leq-\frac{\sqrt{3}}{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Está pedida a solução, em \mathbb{R}, da inequação
\sin x \leq -\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Informação importante implícita: a função \sin x é periódica de período 2\pi.
  • O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Entendendo onde a função seno assume o valor -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Na circunferência trigonométrica, o valor \dfrac{\sqrt{3}}{2} corresponde ao seno do ângulo \dfrac{\pi}{3}. Ou seja,
\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Para obter -\dfrac{\sqrt{3}}{2} usamos o mesmo ângulo de referência \dfrac{\pi}{3} mas na metade inferior do círculo (terceiro e quarto quadrantes). Os pontos dentro de [0,2\pi) onde \sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} são:
x=\frac{4\pi}{3}\quad\text{e}\quad x=\frac{5\pi}{3}.
  • Por causa da periodicidade, as soluções da igualdade \sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} são
x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\quad\text{e}\quad x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Identificando o intervalo (dentro de uma única volta [0,2\pi)) onde \sin x\le -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Conhecimento útil: no intervalo [0,2\pi) a função \sin x é positiva em (0,\pi) e negativa em (\pi,2\pi). Entre \frac{4\pi}{3} e \frac{5\pi}{3} a função vai de -\dfrac{\sqrt{3}}{2} até o mínimo -1 (em \tfrac{3\pi}{2}) e volta a -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo, para \sin x ser menor ou igual a -\dfrac{\sqrt{3}}{2} numa volta completa, os pontos que satisfazem isso em [0,2\pi) são exatamente o segmento fechado
\left[\frac{4\pi}{3},\,\frac{5\pi}{3}\right].
  • Intuição curta: à esquerda de \tfrac{4\pi}{3} (mas maior que \pi) o seno é maior (menos negativo) que -\tfrac{\sqrt{3}}{2}; à direita de \tfrac{5\pi}{3} (até 2\pi) o seno já é maior que -\tfrac{\sqrt{3}}{2} novamente.

Passo 4

Generalizando pela periodicidade para obter todas as soluções em \mathbb{R}.
  • Como \sin x tem período 2\pi, a configuração acima se repete para cada translado por 2k\pi. Assim, todas as soluções são os intervalos obtidos ao somar 2k\pi ao intervalo fundamental:
\left[\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right],\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Aqui k\in\mathbb{Z} indica qualquer inteiro; cada k dá uma “volta” do seno.

Passo 5

Verificações rápidas (para ganhar confiança).
  • Teste um ponto no meio do intervalo, por exemplo x=\tfrac{3\pi}{2}. Calcula-se
\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1\le -\frac{\sqrt{3}}{2},
então x=\tfrac{3\pi}{2} está correto dentro do intervalo.
  • Teste fora do intervalo, por exemplo x=\pi. \sin\pi=0>- \tfrac{\sqrt{3}}{2}, logo \pi não pertence à solução — coerente com a descrição.

Resposta

\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\;\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right]

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