Exercício 0.17 Resolva as seguintes inequações, em
,
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Está pedida a solução, em
, da inequação
- Informação importante implícita: a função
é periódica de período . - O objetivo é encontrar todos os
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Entendendo onde a função seno assume o valor
.
- Na circunferência trigonométrica, o valor
corresponde ao seno do ângulo . Ou seja,
- Para obter
usamos o mesmo ângulo de referência mas na metade inferior do círculo (terceiro e quarto quadrantes). Os pontos dentro de onde são:
- Por causa da periodicidade, as soluções da igualdade
são
Passo 3
Identificando o intervalo (dentro de uma única volta
) onde
.
- Conhecimento útil: no intervalo
a função é positiva em e negativa em . Entre e a função vai de até o mínimo (em ) e volta a . Logo, para ser menor ou igual a numa volta completa, os pontos que satisfazem isso em são exatamente o segmento fechado
- Intuição curta: à esquerda de
(mas maior que ) o seno é maior (menos negativo) que ; à direita de (até ) o seno já é maior que novamente.
Passo 4
Generalizando pela periodicidade para obter todas as soluções em
.
- Como
tem período , a configuração acima se repete para cada translado por . Assim, todas as soluções são os intervalos obtidos ao somar ao intervalo fundamental:
- Aqui
indica qualquer inteiro; cada dá uma “volta” do seno.
Passo 5
Verificações rápidas (para ganhar confiança).
- Teste um ponto no meio do intervalo, por exemplo
. Calcula-se
então
está correto dentro do intervalo.
- Teste fora do intervalo, por exemplo
. , logo não pertence à solução — coerente com a descrição.