Exercício 0.17 Resolva as seguintes inequações, em
,
)
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A incógnita é
. - A função envolvida é a tangente:
. - Lembrar que
não está definida quando , isto é, em , para . - A inequação com valor absoluto equivale a duas desigualdades simultâneas:
.
Passo 2
Transformar a desigualdade com valor absoluto em uma dupla desigualdade. Por definição de valor absoluto,
Assim buscamos todos os
(onde
é definida) tais que
esteja entre
e
.
Passo 3
Resolver a desigualdade na janela principal onde a tangente é contínua e monótona:
.
Explicação da ideia usada: a função tem período
e é estritamente crescente em cada intervalo do tipo
(isso vem do fato de
onde está definida). Então basta resolver no intervalo principal
e depois deslocar por múltiplos de
.
Explicação da ideia usada: a função
Na janela principal temos valores conhecidos:
Como
é estritamente crescente nesse intervalo, a condição
corresponde exatamente ao intervalo de
entre
e
. Portanto, na janela principal a solução é
Observação: os extremos são permitidos porque
estão definidos.
Passo 4
Usar a periodicidade da tangente para obter todas as soluções. Como
para todo
onde a tangente é definida, todas as soluções são obtidas somando múltiplos inteiros de
ao intervalo principal. Assim a solução geral é a união dos intervalos deslocados por
,
:
Passo 5
Verificações rápidas e comentários práticos:
- Pontos como
(onde não existe) não aparecem em nenhum dos intervalos acima, portanto não são problema. - Exemplos para checar:
pertence ao intervalo com e . pertence ao intervalo com (pois ) e , também satisfaz. - Forma alternativa equivalente e intuitiva: existem
tais que .