Exercício 0.17 Resolva as seguintes inequações, em \mathbb{R},
|\tan x| \leq 1 )

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
|\tan x| \leq 1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • A função envolvida é a tangente: \tan x.
  • Lembrar que \tan x não está definida quando \cos x=0, isto é, em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, para k\in\mathbb{Z}.
  • A inequação com valor absoluto equivale a duas desigualdades simultâneas: -1\le \tan x \le 1.

Passo 2

Transformar a desigualdade com valor absoluto em uma dupla desigualdade. Por definição de valor absoluto,
|\tan x| \le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 \le \tan x \le 1.
Assim buscamos todos os x (onde \tan x é definida) tais que \tan x esteja entre -1 e 1.

Passo 3

Resolver a desigualdade na janela principal onde a tangente é contínua e monótona: \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
Explicação da ideia usada: a função \tan x tem período \pi e é estritamente crescente em cada intervalo do tipo \left(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right) (isso vem do fato de \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x>0 onde está definida). Então basta resolver no intervalo principal \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) e depois deslocar por múltiplos de \pi.
Na janela principal temos valores conhecidos:
\tan\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,\qquad \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
Como \tan x é estritamente crescente nesse intervalo, a condição -1\le \tan x\le 1 corresponde exatamente ao intervalo de x entre -\dfrac{\pi}{4} e \dfrac{\pi}{4}. Portanto, na janela principal a solução é
x\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right].
Observação: os extremos são permitidos porque \tan(\pm \pi/4)=\pm1 estão definidos.

Passo 4

Usar a periodicidade da tangente para obter todas as soluções. Como \tan(x+\pi)=\tan x para todo x onde a tangente é definida, todas as soluções são obtidas somando múltiplos inteiros de \pi ao intervalo principal. Assim a solução geral é a união dos intervalos deslocados por k\pi, k\in\mathbb{Z}:
x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[-\frac{\pi}{4}+k\pi,\;\frac{\pi}{4}+k\pi\right].

Passo 5

Verificações rápidas e comentários práticos:
  • Pontos como x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi (onde \tan não existe) não aparecem em nenhum dos intervalos acima, portanto não são problema.
  • Exemplos para checar: x=0 pertence ao intervalo com k=0 e \tan 0=0\le1. x=\dfrac{3\pi}{4} pertence ao intervalo com k=1 (pois 3\pi/4=\pi-\pi/4) e \tan(3\pi/4)=-1, também satisfaz.
  • Forma alternativa equivalente e intuitiva: existem k\in\mathbb{Z} tais que |x-k\pi|\le \dfrac{\pi}{4}.

Resposta

x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[-\frac{\pi}{4}+k\pi,\;\frac{\pi}{4}+k\pi\right]

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