Exercício 17. Seja
uma função de classe
e seja
um difeomorfismo, também de classe
, com
. Mostre que o posto da Hessiana de
em
é igual ao posto da Hessiana de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado diz que temos
e
ambas de classe , com
e
invertível. Queremos mostrar que
ambas de classe
Para isso vamos usar a definição de Hessiana como forma bilinear de segunda derivada e a expansão de Taylor de ordem 2.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a expansão de Taylor de
em torno de
. Para
pequeno em
vale
isto é,
Passo 3
Agora compondo com
, para
obtemos, de novo por Taylor de ordem 2,
Dessa expansão vemos que a parte quadrática de
em
é exatamente
Portanto, como forma bilinear de segunda derivada,
Passo 4
Por hipótese
é uma matriz invertível. Mas uma congruência pela matriz invertível
não altera o posto de uma matriz simétrica. Logo