Exercício 17. Seja f: V subseteq R^n longrightarrow R uma função de classe C^2 e seja varphi: U longrightarrow V um difeomorfismo, também de classe C^2, com varphi(a)=b. Mostre que o posto da Hessiana de f em b é igual ao posto da Hessiana de f circ varphi no ponto a.

Passo 1

O enunciado diz que temos
f:VsubseteqR^ntoR e
varphi:UsubseteqR^nto V
ambas de classe C^2, com varphi(a)=b e Dvarphi(a) invertível. Queremos mostrar que
rankl(Hess,f(b)r) =rankl(Hess,(fcircvarphi)(a)r)
Para isso vamos usar a definição de Hessiana como forma bilinear de segunda derivada e a expansão de Taylor de ordem 2.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a expansão de Taylor de varphi em torno de a. Para h pequeno em R^n vale
varphi(a+h) = varphi(a) + Dvarphi(a),h + o(|h|),
isto é,
varphi(a+h) = b + Dvarphi(a),h + o(|h|)

Passo 3

Agora compondo com f, para g := fcircvarphi obtemos, de novo por Taylor de ordem 2,
g(a+h) = fl(b + Dvarphi(a),h + o(|h|)r) = f(b) + nabla f(b)cdotl(Dvarphi(a),hr) + tfrac12,(Dvarphi(a),h)^T,Hess,f(b),(Dvarphi(a),h) + o(|h|^2)
Dessa expansão vemos que a parte quadrática de g em a é exatamente
tfrac12,h^T,l[Dvarphi(a)^T,Hess,f(b),Dvarphi(a)r],h
Portanto, como forma bilinear de segunda derivada,
Hess,(fcircvarphi)(a) = Dvarphi(a)^T,Hess,f(b),Dvarphi(a)

Passo 4

Por hipótese Dvarphi(a) é uma matriz invertível. Mas uma congruência pela matriz invertível Dvarphi(a) não altera o posto de uma matriz simétrica. Logo
rankl(Hess,f(b)r) =rankl(Dvarphi(a)^T,Hess,f(b),Dvarphi(a)r) =rankl(Hess,(fcircvarphi)(a)r)

Resposta

rankl(Hess,f(b)r)=rankl(Hess,(fcircvarphi)(a)r).

Exercícios relacionados